Enunciado

Suponha que o valor em dólares de um iate com t anos de uso seja V ( t )   =   275.000 e - 0,17 t . Qual é o valor médio do iate ao longo de seus primeiros 10 anos de uso?

Passo 1

Queremos encontrar o valor médio de uma função. Só usar a fórmulinha:

f m = 1 b - a ∫ a b f x d x

Onde:

f x = V ( t )   =   275.000 e - 0,17 t

Já que t é o tempo, em anos, e queremos o valor médio nos primeiros 10 anos:

a = 0   a n o s

b = 10   a n o s

Passo 2

Agora é montar a fórmula e calcular:

V m = 1 10 - 0 ∫ 0 1 0 275.000 e - 0,17 t d t

Vamos usar a substituição:

u = - 0,17   t

d u d t = - 0,17 ∴ d u - 0,17 = d t

Nossos extremos de integração ficam:

u 1 = - 0,17 ⋅ 0 = 0

u 2 = - 0,17 ⋅ 10 = - 1,7

E o valor médio fica:

V m = 1 10   ∫ 0 - 1,7 275.000 - 0,17   e u d u = - 275.000 1,7 ( e - 1,7 - 1 )

V m = 132.212,96   d ó l a r e s

Resposta

$ 132.212,96  

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É verdade que o valor médio de uma função integrável em um intervalo de comprimento 2 é a metade da integral da função ao longo do intervalo? Justifique sua resposta.
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