Enunciado

As medidas de um caco de cerâmica descoberto em uma escavação arqueológica revelam que ele veio de um pote com uma base plana e secção transversal circular (ver figura a seguir). A figura mostra medidas do raio interior do caco feitas a cada 4   c m a partir da base em direção ao topo. Use esses valores para aproximar o volume interno do pote até o décimo de litro mais próximo ( 1   L = 1000   c m 3 ) . [Sugestão: Use 6.2 . 3 (volume por secção transversal) para estabelecer uma integral apropriada para ao volume.]

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando a fórmula da regra citada.

Lembrando que a fórmula da aproximação é dada por:

S n = 1 3 b - a n y 0 + 4 y 1 + y 3 + … + y n - 1 + 2 y 2 + y 4 + … + y n - 2 + y n

Para esse caso temos os seguintes valores:

n = 4 ,   a = 0 ,   b = 16

Além disso, o método da aproximação é uma representação de uma integral como mostramos a seguir:

S n ≈ ∫ a b f x d x

Por conta disso, vamos utilizar a integral do resultado 6.2 . 3 (pode ser visto na página 423 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed – ANTON) como a integral a ser aproximada pela regra de Simpson. Logo:

S n ≈ V = ∫ c d A y d y

Onde A y é a área da seção transversal do sólido.

Passo 2

Como dito no enunciado, temos que a seção transversal é circular e plana. Por isso, a área dessas seções terão a fórmula de um círculo:

A y = π r y 2

Isso pode ser representado pela aproximação pela regra de Simpson com a fórmula:

S 4 ≈ ∫ 0 1 6 π r y 2 d y = π 3 16 - 0 4 r y 0 2 + 4 r y 1 2 + 2 r y 2 2 + 4 r y 3 2 + r y 4 2

Passo 3

Então, a aproximação se dará por:

S 4 = π 3 16 4 8,5 2 + 4 11,5 2 + 2 13,8 2 + 4 15,4 2 + 16,8 2

Portanto:

S 4 = 9269,8   c m 3 ≈ 9,3   L

Resposta

9,3   L

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