Enunciado

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Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos a derivada de f ( x , y , z ) = x^2 + y^2 + z^2 na direção do vetor tangente unitário da hélice r ( t ) = ( c o s t ) i + ( s e n t ) j + t k nos pontos t = - (pi)/(4) , 0 , (pi)/(4) .

Passo 2

Começaremos o exercício encontrando o gradiente da função f ( x , y , z ) = x^2 + y^2 + z^2 e substituindo as componentes no vetor tangente unitário:

grad f = 2 x i + 2 y j + 2 z k = ( 2 c o s t ) i + ( 2 s e n t ) j + 2 t k

Temos então que o vetor v é:

v = ( - s e n t ) i + ( c o s t ) j + k

O vetor unitário então valerá:

[[,u,=,(v)/(| v |),=,(( - s e n t ) i + ( c o s t ) j + k)/(sqrt(( s e n t )^2 + ( c o s t )^2 + 1^2))],[,u,=,((- s e n t)/(sqrt(2))),i,+,((c o s t)/(sqrt(2))),j,+,(1)/(sqrt(2)),k]]

O valor da derivada na direção na direção do vetor dado é:

[[,(D_w f)_P_0,=,grad,f,*,u],[,(D_w f)_P_0,=,(,2,c,o,s,,t,),((- s e n t)/(sqrt(2))),+,(,2,s,e,n,,t,),((c o s t)/(sqrt(2))),+,(,2,t,),((1)/(sqrt(2)))],[,(D_w f)_P_0,=,(2 t)/(sqrt(2))]]

Resposta

aplicando os pontos dados em (D_u f)_P_0 = (2 t)/(sqrt(2)) temos então:

[[,(D_w f),((- pi)/(4)),=,(- pi)/(2 sqrt(2))],[,(D_u f),(,0,),=,0],[,(D_w f),((pi)/(4)),=,(pi)/(2 sqrt(2))]]

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Determine z = phi_1 (x , y) , y0 , tal que phi_1 (1,1) = (pi)/(4) e para todo y0 : grad phi_1 (x , y) = (- (y)/(x^2 + y^2) , (x)/(x^2 + y^2))
Sejam f x , y = x 3 +y 3 -x 2 +4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1, 1). A) Utilizando P 1 ( x ,y ) , calcule um valor aproximado para f ( x ,y ) , sendo x = 1,001e
Sejam f x , y = x 3 +y 3 -x 2 +4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1, 1). Mostre que para todo (x, y) com |x – 1| f x ,y -P 1 x ,y7 x - 1 2 +6 y - 1 2
Seja f x , y = x y e seja γ t = x t , y t , t ∈ I , uma curva diferenciável cuja imagem está contida na curva de nível f x , y = 2 . Mostre que para todo t em I , γ ' t ∙ ∇ f γ t = 0 . Dê exemplo de u
Seja f x , y = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 .Dê exemplo de uma curva γ t , diferenciável, cuja imagem esteja contida na superfície de nível x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 1 .Verifique que ∇ f γ t ∙ γ ' t = 0 . Interpre