Enunciado

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos a derivada de f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 na direção do vetor tangente unitário da hélice r ( t ) = ( c o s ⁡ t ) i + ( s e n ⁡ t ) j + t k nos pontos t = - π 4 , 0 , π 4 .

Passo 2

Começaremos o exercício encontrando o gradiente da função f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 e substituindo as componentes no vetor tangente unitário:

∇ f = 2 x i + 2 y j + 2 z k = ( 2 c o s ⁡ t ) i + ( 2 s e n ⁡ t ) j + 2 t k

Temos então que o vetor v é:

v = ( - s e n ⁡ t ) i + ( c o s ⁡ t ) j + k

O vetor unitário então valerá:

u = v | v | = ( - s e n ⁡ t ) i + ( c o s ⁡ t ) j + k ( s e n ⁡ t ) 2 + ( c o s ⁡ t ) 2 + 1 2 u = - s e n ⁡ t 2 i + c o s ⁡ t 2 j + 1 2 k

O valor da derivada na direção na direção do vetor dado é:

D w f P 0 = ∇ f ⋅ u D w f P 0 = ( 2 c o s ⁡ t ) - s e n ⁡ t 2 + ( 2 s e n ⁡ t ) c o s ⁡ t 2 + ( 2 t ) 1 2 D w f P 0 = 2 t 2

Resposta

aplicando os pontos dados em D u f P 0 = 2 t 2 temos então:

D w f - π 4 = - π 2 2 D u f ( 0 ) = 0 D w f π 4 = π 2 2

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