Determine o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em volta de x_0 dado.

f(x) = 1 / (1 - x^2) e x_0 = 0

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 de f x :

f ' x = - 2 x 1 - x 2 2

f ' x = - 2 x 1 - 2 x 2 + x 4

f ' ' x = - 2 1 - 2 x 2 + x 4 - 2 x - 4 x + 4 x 3 1 - 2 x 2 + x 4

f ' ' x = - 2 + 4 x 2 - 2 x 4 + 4 x 2 - 8 x 4 1 - 2 x ² + x 4

f ' ' x = - 2 + 8 x 2 - 10 x 4 1 - 2 x 2 + x 4

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 que ele deu, além de f ( x 0 )

f 0 = 1 1 - 0 2

f 0 = 1

f ' 0 = - 2.0 1 - 2.0 + 0 2

f ' 0 = 0

f ' ' 0 = - 2 1 - 2.0 2 + 0 4 - 2.0 - 4.0 + 4.0 3 1 - 2.0 2 + 0 4

f ' ' 0 = - 2

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2

f x = 1 + 0 x - 0 - 2 2 x - 0 2

O polinômio vai ficar:

P 2 ( x ) = 1 - x ²

Resposta

P 2 ( x ) = 1 - x ²

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