Determine o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em volta de x_0 dado.

f(x) = raiz(x) e x_0 = 4

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f x = x

f ' x = 1 2 x

f ' ' x = - 1 4 √ x 3

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 = 4 , além de f ( x 0 )

f 4 = 4

f 4 = 2

f ' ( 4 ) = 1 2 4

f ' 4 = 1 4

f ' ' 4 = - 1 4 √ 4 3

f ' ' 4 = - 1 32

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = f 4 + f ' 4 x - 4 + f ' ' 4 2 x - 4 2

f x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2

f x = 2 + x 4 - 1 - x 2 64 + x 8 - 1 4

O polinômio vai ficar:

P 2 x = 3 4 + 3 x 8 - x 2 64

Resposta

P 2 x = 3 4 + 3 x 8 - x 2 64

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