Enunciado

Considere o problema de valor inicial

y ' + 1 2 y = 2 c o s t t ,         y 0 =   - 1        

Encontre as coordenadas de primeiro ponto de máximo local da solução para t   >   0 .  

Passo 1

Vamos resolver pelo método...

y ' + 1 2 y = 2 c o s t t        

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + 1 2 μ t   y = μ t 2 c o s t

De modo que

d μ t d t = 1 2 μ t   ⟹     d μ t μ t = 1 2 d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 1 2 d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ 1 2 d t   ⟹   ln ⁡ μ t = 1 2 t   ⟹   μ t = e 1 2 t

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + 1 2 μ t   y = μ t 2 c o s t   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   2 c o s t     ⟹   d   μ t   y =   μ t   2 c o s t   d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ e 1 2 t y =   ∫ 2 e 1 2 t c o s t d t =   4 5 e t 2 c o s t + 2 s e n t + C

y   = 4 5 c o s t + 2 s e n t + C e - t 2

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y 0 = - 1 = 4 5 1 + C ⟹ C = - 9 5  

y t = 4 5 c o s t + 2 s e n t - 9 5 e - t 2    

Passo 2

O primeiro ponto de máximo local achamos fazendo a derivada primeira igual a zero

d 4 5 c o s t + 2 s e n t - 9 5 e - t 2     d t = 0   ⟹ 1 10 9 e - t 2 - 8 s e n t + 16 c o s t = 0

t   =   1,36431 ⟹ y = 0,820082

Resposta

t   =   1,36431 ⟹ y = 0,820082

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