Enunciado

A equação x 2 = 4 a y representa uma família de parábolas a um parâmetro. Ache uma equação de uma outra família de curvas a um parâmetro, tal que em todo ponto ( x , y ) haja uma curva de cada familia passando por ele e as retas tangente às duas curvas nesse ponto sejam perpendiculares. (Sugestão: mostre primeiro que a inclinação da reta tangente num ponto ( x , y ) , que não está no eixo y , da família de parábolas dada é 2 y x .)

Passo 1

Vamos começar o problema utilizando a sugestão. E para isso, vamos derivar implicitamente a equação x 2 = 4 a y para achar a inclinação da reta tangente em um ponto ( x , y ) .

2 x = 4 a d y d x       →       d y d x = 2 x 4 a

Perceba que 4 a = x 2 y , então:

d y d x = 2 x x 2 y = 2 y x

Passo 2

Agora vamos achar o coeficiente angular da reta tangente a outra família de curvas. A questão diz que as retas tangentes serão perpendiculares então vamos usar o fato de que se duas retas são perpendiculares com coeficientes angulares m e n , então m ⋅ n = - 1 .

m = 2 y x       →         2 y x ⋅ n = - 1       →         n = - x 2 y

Sendo assim, o coeficiente angular da reta tangente a outra família de curvas é - x 2 y .

Passo 3

Podemos escrever d y d x = - x 2 y e se queremos achar a familia de curvas, basta integrar dos dois lados 2 y d y = - x d x .

∫ 2 y d y = ∫ - x d x     →         y 2 = - x 2 2 + C

2 y 2 + x 2 = + C

Logo, essa equação representa uma família de elipses a um parâmetro.

Resposta

x 2 + 2 y 2 = C

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