Enunciado

Usando as fórmulas do Exercício 72 , encontre a distância de Marte ao Sol quando t = 1 ano. Para Marte, use a = 228 × 10 6 km, e = 0,0934 e T = 1,88 ano.

Passo 1

Para estime a distância da Terra vamos pegar a equação de Kepler para estimar o valor de ϕ :

2 π t T = ϕ - e sen ⁡ ϕ → - ϕ + e sen ⁡ ϕ + 2 π t T = 0 → - ϕ + e sen ⁡ ϕ + 2 π t T = 0

Pronto, temos que f ϕ é:

f ϕ = - ϕ + e sen ⁡ ϕ + 2 π t T

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

ϕ n + 1 = ϕ n - f ϕ n f ' ϕ n

Vamos precisar de f ' ϕ , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica, da função constante e do polinômio:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' ϕ :

f ' ϕ = - ϕ + e sen ⁡ ϕ + 2 π t T ' = - 1 + e cos ⁡ ϕ + 0 = - 1 + e cos ⁡ ϕ

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' ϕ é só jogar na fórmula de Newton:

ϕ n + 1 = ϕ n - f ϕ n f ' ϕ n → ϕ n + 1 = ϕ n - - ϕ n + e sen ⁡ ϕ n + 2 π t T - 1 + e cos ⁡ ϕ n =

= ϕ n - - ϕ n + 0,0934   sen ⁡ ϕ n + 2 π ⋅ 1 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ ϕ n = ϕ n - - ϕ n + 0,0934   sen ⁡ ϕ n + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ ϕ n

Vamos agora analisar qual valor usar para ϕ 1 , vamos usar ϕ 1 = 1 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - - ϕ 1 + 0,0934   sen ⁡ ϕ 1 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ ϕ 1 = 1 - - 1 + 0,0934   sen ⁡ 1 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ 1 =

= 3,549364989

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - - ϕ 2 + 0,0934   sen ⁡ ϕ 2 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ ϕ 2 = 3,549364989 - - 3,549364989 + 0,0934   sen ⁡ 3,549364989 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ 3,549364989 ≈

≈ 3 , 324371955

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - - ϕ 3 + 0,0934   sen ⁡ ϕ 3 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ ϕ 3 = 3,324371955 - - 3,324371955 + 0,0934   sen ⁡ 3,324371955 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ 3,324371955 ≈

≈ 3,32 5078282

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - - ϕ 4 + 0,0934   sen ⁡ ϕ 4 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ ϕ 4 = 3,325078282 - - 3,325078282 + 0,0934   sen ⁡ 3,325078282 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ 3,325078282 ≈

≈ 3,32507828 6

Agora x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - - ϕ 5 + 0,0934   sen ⁡ ϕ 5 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ ϕ 5 = 3,32507828 6 - - 3,32507828 6 + 0,0934   sen ⁡ 3,32507828 6 + 2 π 1,88 - 1 + 0,0934   cos ⁡ 3,32507828 6 ≈

≈ 3,325078286

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 3,325078286 .

Passo 4

Agora vamos substituir esse valor na equação para encontrar a distância r :

r = a 1 - e cos ⁡ ϕ = 228 × 10 6 1 - 0,0934 cos ⁡ 3,325078286 = 248.937.732,1

Pronto, temos que a distância do centro do planeta até o centro do sol é de 248.937.732,1 km.

Resposta

248.937.732,1 km

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