Enunciado

De acordo com a Lei de Kepler, os planetas no nosso sistema solar movem-se em órbitas elípticas em torno do Sol. Se a posição do planeta mais próximo do Sol ocorrer no instante t = 0 , então a distância r do centro do planeta até o centro do sol em um instante t posterior pode ser determinada pela equação

r = a 1 - e cos ⁡ ϕ

onde a é a distância média entre os centros, e é uma constante positiva que mede o achatamento da órbita elíptica e ϕ é a solução da equação de Kepler

2 π t T = ϕ - e sen ⁡ ϕ

na qual T é o tempo levado para uma órbita completa do planeta. Estime a distância da Terra ao Sol quando t = 90 dias. [Primeiro, ache ϕ da equação de Kepler e, então, use esse valor para encontrar a distância. Use a = 150 × 10 6 km, e = 0,0167 e T = 365 dias.]

Passo 1

Para estime a distância da Terra vamos pegar a equação de Kepler para estimar o valor de ϕ :

2 π t T = ϕ - e sen ⁡ ϕ → - ϕ + e sen ⁡ ϕ + 2 π t T = 0 → - ϕ + e sen ⁡ ϕ + 2 π t T = 0

Pronto, temos que f ϕ é:

f ϕ = - ϕ + e sen ⁡ ϕ + 2 π t T

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

ϕ n + 1 = ϕ n - f ϕ n f ' ϕ n

Vamos precisar de f ' ϕ , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica, da função constante e do polinômio:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' ϕ :

f ' ϕ = - ϕ + e sen ⁡ ϕ + 2 π t T ' = - 1 + e cos ⁡ ϕ + 0 = - 1 + e cos ⁡ ϕ

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' ϕ é só jogar na fórmula de Newton:

ϕ n + 1 = ϕ n - f ϕ n f ' ϕ n → ϕ n + 1 = ϕ n - - ϕ n + e sen ⁡ ϕ n + 2 π t T - 1 + e cos ⁡ ϕ n =

= ϕ n - - ϕ n + 0,0167   sen ⁡ ϕ n + 2 π ⋅ 90 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ ϕ n = ϕ n - - ϕ n + 0,0167   sen ⁡ ϕ n + 180 π 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ ϕ n

Vamos agora analisar qual valor usar para ϕ 1 , vamos usar ϕ 1 = 1 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - - ϕ 1 + 0,0167   sen ⁡ ϕ 1 + 180 π 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ ϕ 1 = 1 - - 1 + 0,0167   sen ⁡ 1 + 180 π 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ 1 =

= 1,5684603799

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - - ϕ 2 + 0,0167   sen ⁡ ϕ 2 + 180 π 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ ϕ 2 =

= 1,5684603799 - - 1,5684603799 + 0,0167   sen ⁡ - 1,5684603799 + 180 π 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ - 1,5684603799 ≈

≈ 1,5659784265

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - - ϕ 3 + 0,0167   sen ⁡ ϕ 3 + 180 π 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ ϕ 3 =

= 1,5659784265 - - 1,5659784265 + 0,0167   sen ⁡ 1,5659784265 + 180 π 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ 1,5659784265 ≈

≈ 1,5659783751

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - - ϕ 4 + 0,0167   sen ⁡ ϕ 4 + 180 π 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ ϕ 4 =

= 1,5659783751 - - 1,5659783751 + 0,0167   sen ⁡ 1,5659783751 + 180 π 365 - 1 + 0,0167   cos ⁡ 1,5659783751 ≈

≈ 1,5659783751

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,5659783751 .

Passo 4

Agora vamos substituir esse valor na equação para encontrar a distância r :

r = a 1 - e cos ⁡ ϕ = 150 × 10 6 1 - 0,0167 cos ⁡ 1,5659783751 = 149987931

Pronto, temos que a distância do centro do planeta até o centro do sol é de 149.987.931 km.

Resposta

149.987.931 km

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