Enunciado

33. A equação de demanda de uma determinada camisa é 2 p x + 65 p - 4.950 = 0 . Onde x centenas de camisas são demandadas por semana quando p for o preço unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana a $   30 e o preço estiver crescendo a uma taxa de $   0,20   por semana, ache a taxa de variação na demanda.

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Identificando as variáveis:

X- Camisas demandadas por semana (em centenas).

p- Preço de cada

A questão nos deu d p d t = 0,20   , a taxa de variação do preço por semana.

E nos é pedido d x d t ( taxa de variação da demanda) quando p for $   30 .

Passo 2

Dessa vez, não é preciso esquentarmos a cabeça procurando uma fórmula que relacione as variáveis, porque a questão nos deu de mãos beijadas.

Ai está a equação:

2 p x + 65 p - 4.950 = 0

Derivando em ambos os lados em relação a t:

2 d p d t x + 2 p d x d t + 65 d p d t + 0 = 0

Para encontrarmos esse x, teremos que voltar para a equação dada pela questão.

Para p = 30 .

2 ⋅ 30 x + 65 ⋅ 30 - 4.950 = 0

x = - 65 ⋅ 30 + 4.950 60

x = 50  

Continuando com a nossas continhas,

2 d p d t x + 2 p d x d t + 65 d p d t = 0

Substituindo o que já conhecemos:

2 ⋅ 0,20 ⋅ 50 + 2 ⋅ 30 d x d t + 65 ⋅ 0,20 = 0

2 ⋅ 30 d x d t = - 13 - 20

d x d t = - 33 60

d x d t = - 11 20

Essa é a taxa de variação da demanda por semana.

Resposta

d x d t = - 11 20

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