Enunciado

34. A medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo está decrescendo a uma taxa de 1 36 π rad/s. Se o comprimento da hipotenusa for constante e igual a 40cm, ache a velocidade com que a área está variando, quando a medida do ângulo agudo for 1 6 π .

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Se liga no triângulo da questão:

Não ajudou muito né, mas calma aí que você vai sair daqui aprendendo a fazer essa questão de olho fechado.

Vamos anotar as variáveis desse problema:

h   - o comprimento da hipotenusa é constante.

θ - ângulo formado por h e a.

A -   área do triângulo.

A questão nos deu:

h = 40

d θ d t = 1 36 π

E nos pede para entramos a taxa de variação da área, d A D t , quando o ângulo for π 6 .

Passo 2

Precisamos de uma fórmula que relacione área, com a hipotenusa e o ângulo do triângulo, você conhece uma assim ? -irineu, você não sabe nem eu hsuaohsouah.

Mas sabemos que a área de um triângulo é dado por:

A = a ⋅ b 2  

E podemos usar nosso conhecimentos de trigonometria para aparecer algum ângulo nessa fórmula, veja só:

cos ⁡ θ = a h ⇒ a = h ⋅ c o s θ

s e n θ = b h ⇒ b = h ⋅ s e n θ

Substituindo o que encontramos na fórmula da área:

A = h ⋅ c o s θ ⋅ h ⋅ s e n θ 2  

A = h 2 ⋅ c o s θ s e n θ 2  

Pronto, já temos uma fórmula relacionando área, ângulo e a hipotenusa.

Passo 3

Já ilustramos o que a questão pediu, já encontramos a equação que descreve o problema, agora só falta derivar.

Derivando em ambos os lados em relação a t:

A = h 2 ⋅ c o s θ ⋅ s e n θ 2    

d A d t   = d d t h 2 ⋅ c o s θ ⋅ s e n θ 2    

Lembrando que h 2 2 é constante, então

d A d t   = h 2 2 ⋅ d d t ( c o s θ ⋅ s e n θ )

Usando regra do produto para derivar:

d A d t   = h 2 2 - s e n θ ⋅ d θ d t ⋅ s e n θ + c o s θ ⋅ c o s θ ⋅ d θ d t

d A d t   = h 2 2 ⋅ d θ d t ⋅ - s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ

d A d t   = ( 40 ) 2 2 ⋅ π 36 ⋅ - s e n 2 π 6 + cos 2 ⁡ π 6

d A d t   = 800 ⋅ π 36 ⋅ - 1 4 + 3 4

d A d t   = 800 ⋅ π 36 ⋅ 1 2

d A d t   = 400 ⋅ π 36

d A d t   = 100 ⋅ π 9 c m 2

Resposta

d A d t   = 100 ⋅ π 9 c m 2

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