Enunciado

Sejam F o foco e r a diretriz da parábola P : y 2 = 4 p x . Prove que:

  1. Os simétricos de F em relação às retas tangentes à parábola pertencem a r ;
  2. Se Q é um ponto da diretriz, a mediatriz do segmento Q F é uma reta tangente a P .

Conclua de (a) e () que o lugar geométrico dos pontos simétricos de F em relação às retas tangentes a P é a diretriz de P .

Passo 1

Como y 2 = 4 p x , então temos uma parábola com eixo horizontal (eixo x ). O foco será F = p ,   0 e a reta diretriz x = - p .

  1. Seja T = h ,   k um ponto genérico da parábola. Assim,
  2. k 2 = 4 p h

    Vamos calcular a equação da reta tangente, t , à parábola no ponto T . Vamos fazer isso derivando! Como y 2 = 4 p x , podemos derivar implicitamente, para obter:

    2 y ⋅ y ' = 4 p ∴ y ' = 2 p y

    No ponto h ,   k , temos:

    y ' = 2 p k

    Assim, a equação da reta tangente será:

    y - k = 2 p k x - h ∴ y = 2 p k x + k 2 - 2 p h k

    Como p h = k 2 / 4 , segue que

    y = 2 p k x + k 2 - k 2 / 2 k = 2 p k x + k 2 ⟹ y = 2 p k x + k 2

    é a equação da reta tangente à elipse no ponto h ,   k .

    Passo 2

    Como podemos obter o simétrico de F em relação a t ? Vamos proceder da seguinte maneira: de F , traçamos uma reta, v , perpendicular à r . Tal reta terá coeficiente angular - k / 2 p , pois o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é igual a - 1 . Logo, a equação de v será:

    y - 0 = - k 2 p x - p ∴ y = - k 2 p x + k 2

    Com a equação de v e t em mãos, podemos ver onde tais retas se encontram:

    y v = y t ∴ 2 p k x + k 2 = - k 2 p x + k 2 ⟹ x = 0

    Logo, as retas se encontram no ponto C = 0 , k 2 .

    Agora, note que C será o ponto médio entre F e o simétrico F ' . Dessa forma,

    C = F + F ' 2 ∴ F ' = 2 C - F ∴ F ' = 0 ,   k - p ,   0 ⟹ F ' = - p ,   k

    Isso demonstra que F ' pertence à reta x = - p (que é a equação de r ).

    Passo 3

  3. Seja Q = - p ,   q . Assim, temos que o coeficiente angular da reta que liga Q e F vale:

m = y Q - y F x Q - x F = q - 0 - p - p = - q 2 p

O ponto médio do segmento P Q será

M = P + Q 2 = p ,   0 + - p ,   q 2 = 0 , q 2

Assim, a reta mediatriz terá coeficiente angular 2 p / q e passará por 0 , q 2 ; sua equação será:

y - q 2 = 2 p q x - 0 ∴ y = 2 p q x + q 2

Para interceptar a parábola,

y 2 = 4 p x ∴ 2 p q x + q 2 2 = 4 p x ∴ 4 p 2 q 2 x 2 + 2 p x + q 2 4 = 4 p x ⟹

4 p 2 q 2 x 2 - 2 p x + q 2 4 = 0 ∴ 2 p q x - q 2 2 = 0

A última equação nos mostra que há apenas uma raiz ( x = q 2 / 4 p ), de modo que a reta é tangente à parábola.

Passo 2

De (a), sabemos que os pontos simétricos de F em relação às retas tangentes pertencem a r ;

Por outro lado, de (b) sabemos que todo ponto de r está associado a uma reta tangente.

Logo, todo cada ponto simétrico possui seu associado na reta r .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontrar sobre a parábola y 2 = 4 x um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a 3 .
Obter uma equação geral da parábola dada por equações paramétricas. x = t 2 4 + 4 y = t
Utilizar a definição para encontrar uma equação da parábola de foco e diretriz dados: b )F ( 0,3 ) d : x - 2 = 0
Utilizar a definição para encontrar uma equação da parábola de foco e diretriz dados: F ( - 3,4 ) d : y = 2
Dados os sistemas de equações paramétricas: x = 2 t y = t + 3 ,t ∈ [ 0,8 ] e x = - t y = t 2 2 + 3 , t ∈ [ - 4,0 ] Mostrar que eles representam parte de uma mesma parábola, esboçando o gráfico.