Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 3.Revisão - Ex. 74

Ver Outros Exercícios
desse livro

Se a equação do movimento é s = c o s 2 t + 2 s e n 2 t , prove que o movimento é harmônico simples.

Passo 1

Para que o movimento seja harmônico simples, a aceleração do corpo deve ser proporcional ao deslocamento s, e precisa assumir valor menor ou igual a zero, pois a força envolvida deve sempre ser contrária ao movimento da partícula.

Passo 2

Como precisamos primeiro da aceleração, faremos a primeira derivada da função dada no enunciado:

d s d t = d d t c o s 2 t + 2 s e n 2 t

Aplicando a Regra da Cadeia no primeiro termo da derivada:

d d t c o s 2 t = - s e n 2 t d d t 2 t

d d t c o s 2 t = - 2 s e n 2 t

Faremos o mesmo para o segundo termo:

d d t 2 s e n 2 t = 2 c o s 2 t d d t 2 t

d d t 2 s e n 2 t = 4 c o s 2 t

Substituindo os resultados ficamos com:

v = d s d t = - 2 s e n 2 t + 4 c o s 2 t

E essa será a velocidade da partícula.

Passo 3

Agora calcularemos a aceleração:

d v d t = d d t - 2 s e n 2 t + 4 c o s 2 t

Aplicando a Regra da Cadeia novamente em cada termo:

d d t - 2 s e n 2 t = - 2 c o s 2 t d d t 2 t

d d t - 2 s e n 2 t = - 4 c o s 2 t

No segundo termo:

d d t 4 c o s 2 t = - 4 s e n 2 t d d t 2 t

d d t 4 c o s 2 t = - 8 sen ⁡ 2 t

Substituindo os resultados no início:

a = d v d t = - 4 c o s 2 t - 8 s e n 2 t

a = - 4 c o s 2 t + 2 s e n 2 t

Passo 4

Podemos reescrever a equação em termos do deslocamento, pois o que está dentro dos parêntesis é exatamente o deslocamento s:

s = c o s 2 t + 2 s e n 2 t

a = - 4 s

Como a aceleração é somente função do deslocamento, e é negativa, então o movimento é harmônico simples.

Exercícios de Livros Relacionados

Estão dados os gráficos da função posição de dois corredores, A e B qu

Ver Mais

Se a meia-vida do rádio for de 1.690 anos, que porcentagem da quantida

Ver Mais

Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de u

Ver Mais

Encontre d 3 y d x 3   se y = 3 - 2 x .

Ver Mais

Um objeto está escorregando por um plano inclinado de acordo com a equ

Ver Mais