Enunciado

Um funil na forma de um cone tem 10   c m de diâmetro do topo e 8   c m de profundidade. A água está fluindo dentro do funil, a uma taxa de 12   c m 3 / s e para fora do funil, a uma taxa de 4   c m 3 / s . Com que velocidade o nível de água estará subindo quando a profundidade for de 5   c m .

Passo 1

Trata-se de uma questão sobre taxas relacionadas. Note que a cada segundo, entram 12   c m 3 e saem 4   c m 3 de água do funil, de modo que a taxa de variação do volume de água dentro do funil é + 8   c m 3 / s . O sinal de + indica que o volume está aumentando, de modo que o nível de água está subindo.

Na figura a seguir representamos o funil quando a altura do nível de água for h :

Nosso objetivo inicial é expressar o volume de água V em função de h para depois relacionar suas taxas de variação.

Passo 2

O volume de água é o volume de um cone de raio da base r e altura h :

V = 1 3 ⋅ π r 2 ⋅ h

Note que o volume depende tanto de r como de h : devemos eliminar uma dessas variáveis! Note que podemos usar semelhança de triângulos:

r h = 5 8 ⇒ r = 5 h 8

Assim,

V = 1 3 π 5 h 8 2 ⋅ h = 25 π 192 h 3

Portanto,

V t = 25 π 192   h t 3

Passo 3

Agora vamos relacionar as taxas de derivação aplicando a derivada em ambos os lados:

V ' t = 25 π 192 ⋅ 3 h t 2 ⋅ h ' ( t )

Queremos a velocidade com que o nível de água sobe (isto é, h ' ( t ) ) quando h t = 5 . Como V ' t = + 8 , temos que

25 π 64 ⋅ 5 2 ⋅ h ' t = 8

Assim,

h ' t = 512 625 π   c m / s

Resposta

512 625 π   c m / s

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