Enunciado

Um homem com 1,80   m de altura caminha em direção a um edifício com uma velocidade de 1,20   m / s . Há um ponto de luz no chão a 12   m do edifício. Com que velocidade diminui a sombra do homem no edifício, quando ele está a 9   m do edifício?

Passo 1

Essa é uma questão bem clássica de taxa relacionada. O desenho a seguir representa um esquema da sombra do homem no prédio ( y ) quando a distância dele até o ponto de luz é x .

Como o homem se afasta do ponto de luz com velocidade 1,2   m / s , temos que x ' = 1,2 . Agora precisamos achar uma relação entre x e y para tomarmos as derivadas.

Passo 2

Por semelhança de triângulo, temos que

y 12 = 1,8 x ⇒ y ( t ) = 21,6 x ( t )

Assim, derivando com relação ao tempo:

y ' = 21,6 x - 1 ' = - 21,6 x 2 ⋅ x '

Passo 3

Quando a distância do homem ao prédio for 9   m , teremos x = 12 - 9 = 3 . Como x ' = 1,2 :

y ' = - 21,6 3 2 ⋅ 1,2 = - 2,88

Assim, a velocidade com que a sombra diminui é 2,88   m / s .

Resposta

2,88   m / s

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