Enunciado

Se a equação do movimento do Exercício 28 for s = t 2 - t + 4 e t ∈ [ 0,3 ] , ache o valor de t onde a velocidade instantânea é igual à velocidade média para o intervalo dado.

Passo 1

Primeiro de tudo vamos lembrar o que o teorema do valor médio diz. Seja f uma função, tal que seja contínua no intervalo fechado [ a , b ] e seja derivável no intervalo aberto ( a , b ) . Então, existirá um número c no intervalo aberto ( a , b ) , tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

No nosso problema, temos a função que define o movimento s = t 2 - t + 4 e sabemos que a taxa de variação do movimento em relação ao tempo é a velocidade instantânea, certo?

Passo 2

Como f satisfaz as hipóteses do TVM no intervalo [ 0,3 ] e existe um c tal que 0 < c < 3 , temos:

f ' c = f 3 - f 0 3 - 0

f ' t = 2 t - 1     →         f ' c = 2 c - 1

f 3 = 3 2 - 3 + 4 = 10

f 0 = 4

Ou seja,

2 c - 1   = 10 - 4 3 - 0 = 2         →       2 c = 3       →         c = 3 2

Sendo assim, no instante t = 3 2 a velocidade instantânea é igual a velocidade média.

Resposta

t = 3 2

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