Enunciado

Devido a várias restrições, o tamanho de determinada comunidade está limitado a 3.000 habitantes e a taxa de crescimento da população é diretamente proporcional ao produto de seu tamanho com diferença entre 3.000 e o seu tamanho. Determine o tamanho da população para o qual a sua taxa de crescimento é máxima.

Passo 1

Vamos começar chamando de x o tamanho da comunidade. A questão disse que a taxa é diretamente proporcional ao produto de seu tamanho x com a diferença de 3000 e seu tamanho x . Temos então,

T x = k x 3000 - x = k ( 3000 x - x 2 )

Como é taxa de crescimento, T x > 0 e k > 0 , k é uma constante de proporcionalidade.

Passo 2

Para achar o máximo de T nós derivamos e igualamos a 0 , mas já podemos perceber que, em termos de gráfico, teríamos uma parábola com concavidade para baixo, o que gera um máximo absoluto.

T ' x = 3000 k - 2 k x = 0                 →                   2 k x = 3000 k

Para k ≠ 0 , 2 x = 3000       →         x = 1500 .

Logo, o tamanho da população para o qual a sua taxa de crescimento é máxima é 1500.

Resposta

1500

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