Enunciado

O gráfico de uma função f é mostrado. Verifique se f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo [0,8]. Então, estime os valores de c que satisfazem a conclusão do Teorema nesse intervalo.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando. Bom, ele nos pede para analisar o nosso gráfico através do teorema de Rolle e dizer quais os valores de c. E aii, partiu??

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser relembrar a definição do teorema.

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f é contínua no intervalo fechado de [a, b];
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de (a, b);
  3. f(a) = f(b)

Então há um número c no intervalo aberto (a, b) onde f’(c) = 0”

Bom, com o teorema fresquinho na nossa cabeça agora, vamos analisar o gráfico.

Passo 3

Podemos fazer um cara-crachá no gráfico para notar que todas as condições do teorema são seguidas direitinho.

Feito isso, podemos seguir a régua dada direto no eixo para puxar os valores onde há a inversão do sentido da função, ou seja, derivada (ou a tangente da função, como preferir) é zero.

Na hora que analisamos a malha do fundo, percebemos que os nossos valores de c são:

c = 1

c = 5

Resposta

c = 1

c = 5

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Suponha que a função f seja contínua em [ a ,b ] e f ' x = 1 para todo x em ( a ,b ) . Prove que f x = x - a + f ( a ) para todo x em [ a ,b ] .
Se f x = s e n 2 x + cos 2 ⁡ x , use o Teorema 4.3.3 pra mostrar que f x = 1 para todo x em [ - 2 π ,2 π ] .
Se f x = x 4 - 2 x 3 + 2 x 2 - x então f ' x = 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x - 1 . Prove, pelo teorema de Rolle, que a equação a segui tem pelo menos uma raiz real no intervalo aberto ( 0 ,1 ) : 4 x 3 - 6 x 2 +
Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;Se as três condições
Comprove que as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor adequado de c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio. f