Enunciado

Verifique se a função satisfaz às hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão.

f x = x ³ - 3 x + 2 ,     - 2 ,   2

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando. Bom, ele nos pede para analisar se a nossa funçãozinha é compatível com o teorema do valor médio e, se for, para achar todos os valores possíveis. E aii, partiu??

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser relembrar a definição do teorema.

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f é contínua no intervalo fechado de [a, b];
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de (a, b);

Então há um número c no intervalo aberto (a, b) onde f ' c = f b - f a b - a ”.

Bom, com o teorema fresquinho na nossa cabeça agora, vamos analisar a nossa função.

Passo 3

- Por ser uma função polinomial, é sempre diferenciável e contínuo, significar que o teorema do valor médio é aplicável

Derivando a nossa função:

f ' x = 3 x 2 - 3

Temos que encontrar o valor c tal que,

f ' c = f 2 - f - 2 2 - ( - 2 )

f ' c = 4 4 = 1

Usando o valor dado:

3 c 2 - 3 = 1

3 c 2 = 4

c 2 = 4 3

c = ± 2 3 3

Note que ambos os valores de c estão no intervalo dado, então ambos são aceitos.

Resposta

c = ± 2 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,f c é paralela à secante que passa
Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;Se as três condições
Determine qual das hipóteses do teorema do valor médio não é satisfeita. Faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) e da reta que passa pelos pontos a ,f a e b ,f b . f x = 3 x - 4 2 3 ,a = - 4 ,b = 5
A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,f c é paralela à secante que passa
Determine qual das hipóteses do teorema do valor médio não é satisfeita. Faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) e da reta que passa pelos pontos a ,f a e b ,f b . f x = 4 x - 3 2 ; a = 1 ,b = 6