A equação de movimento de um pêndulo sem amortecimento é (d^2 theta) / (d t) + omega^2 sen theta = 0 , onde omega^2 = g / L Faça x = theta, y = dθ/dt para obter o sistema

dx/dt = y, dy/dt = -omega^2 sen x.

a) Mostre que os pontos críticos são (±npi, 0), n=0, 1,2, ... E que o sistema é quase linear na vizinhança de cada ponto crítico.

b) Mostre que o ponto crítico |0,0| é um centro (estável) do sistema linear correspondente. Usando o Teorema 9.3.2, o que se pode dizer sobre o sistema não-linear? A situação é semelhante nos pontos críticos? (±2npi, 0), n=1, 2, 3… Qual a interpretação física desses pontos críticos?

c) Mostre que o ponto crítico (pi, 0) é um ponto de sela (instável) do sistema linear correspondente. O que você pode concluir sobre o sistema não-linear? A situação é semelhante nos pontos críticos [±(2n-1)pi, 0], n = 1, 2, 3, … . Qual a interpretação física desses pontos críticos?

d) Escolha uma valor para omega^2 e faça o gráfico de algumas trajetórias do sistema não linear na vizinhança da origem. Você pode concluir mais alguma coisa sobre a natureza do ponto crítico |0,0| para o sistema não linear?

e) Usando o valor de omega^2 do item (d), desenhe um retrato de fase para o pêndulo. Compare seu gráfico com o da Fig 9.3.5 para o pêndulo com amortecimento.

Passo 1

a) A solução do sistema de equações

y = 0

- ω 2 s e n x = 0

consiste dos pontos ± n π ,   0 ,   n = 1,2 , 3 … A função F x , y = y   e   G x , y = - ω 2 s e n x são analíticas em todo plano. Isso nos da que o sistema é quase linear próximo aos pontos críticos.

Passo 2

b) A matriz jacobianda do campo de vetores nos é dado por

J = 0 1 - ω 2 s e n x 0

Na origem, o coeficiente matricial do sistema linearizado é

J 0,0 = 0 1 - ω 2 0

com autovalores complexos r 1,2 = ± i ω . Logoa origem é um centro. Como os autovalores são complecos, o teorema 9.3.2 não nos da definisões conclusivas sobre o ponto crítico do sistema não linear.

Fisicamente, o ponto critico corresponde ao estado θ = 0 ,   θ ' = 0 .   Isso é, a configuração de repouso do pêndulo.

Passo 3

c) No ponto crítico π , 0 , o coeficiente matricial do sistema linearizado é

J 0,0 = 0 1 ω 2 0

com autovalores r 1,2 = ± ω . Os autovalores são reais e de sinais opostos, logo sabemos que é um ponto de sela. O teorema 9.3.2 afirma que o ponto crítico para o sistema não-linear é uma sela, que é instável. Fisicamente, o ponto critico corresponde ao estado θ = 0 ,   θ ' = 0 .   Isso é, a configuração de repouso do pêndulo na posição vertical.

Passo 4

d) Façamos ω 2 = 1 .   Seguindo o esboço das fases das curvas próximas a origem

Isso nos mostra que a origem é realmente um centro.

Passo 5

e)

Deve ser dito que que a fase representada segue um padrão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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