Enunciado

Uma pedra é atirada verticalmente para cima, do telhado de uma casa com 20 m de altura, com uma velocidade inicial de 15 m/s. (a) Depois de quanto tempo ela atingirá a altura máxima c (b) qual será essa altura? (c) Quanto tempo irá decorrer até que a pedra na descida passe pelo telhado da casa e (d) qual a sua velocidade nesse instante? (e) Quanto tempo irá decorrer para que ela atinja o solo e (f) qual a sua velocidade então?

Passo 1

Antes vamos separar as informações que enunciado nos dá:

s 0 = 20 m

v 0 = 15 m / s

Considerando o sentido positivo para cima, temos a aceleração da gravidade como:

g =   - 9,81 m / s ²

Passo 2

Vamos trabalhar a diferenciação, como:

a = d v / d t

- 9,81 = d v d t

- 9,81   d t = d v

Integrando ambos os lados:

∫ - 9,81   d t = ∫ d v

v = - 9,81   t + C 1

Substituindo o valor de v quando t = 0 , descobriremos C 1 =   15   m / s , ficando:

v = - 9,81 t + 15

Passo 3

Enquanto que:

d s d t = v

d s d t = - 9,81 t + 15

s = ∫ - 9,81 t + 15 d t = - 19,62 t 2 + 15 t + C 2  

Como a altura inicial é s 0 = 20 m ,   e m   t = 0 :

Chegamos a C 2 = 20 m

Logo:

s = - 4,90 t 2 + 15 t + 20

Passo 4

(a) Nessa letra o enunciado quer o tempo para atingir a altura máxima:

Isso ocorre quando a velocidade é 0:

v = - 9,81 t + 15

0 = - 9,81 t + 15

15 9,81 = t

t = 1,52   s

Passo 5

(b) A partir disso podemos encontrar a maior altura substituindo o t na equação do espaço:

s = - 4,90   1,52 2 + 15   ( 1,52 ) + 20

s = 31,48   m

Passo 6

(c) A descida terá o mesmo tempo de subida:

t = 1,52   s

Já que:

20 = - 4,90 t 2 + 15 t + 20

Obtemos duas raízes, uma do tempo inicial e a outra após a pedra subir e descer.

t 1 = 0 s

t 2 = 3,04 s

Passo 7

(d) E sua velocidade nesse instante será a mesma que a inicial, porém com o sentido para baixo.

v = - 9,81 ∙ 3,04 + 15

v = - 15 m / s

Passo 8

(e) Para então atingir o solo chegará na altura 0, e teremos o tempo decorrido:

s = - 4,90 t 2 + 15 t + 20

0 = - 4,90 t 2 + 15 t + 20

Onde a única raiz real positiva é:

t = 4,06 s

Passo 9

(f) E sua velocidade nesse tempo será:

v = - 9,81 ( 4,06 ) + 15

v = - 24,83   m / s

Resposta

  1. t = 1,52   s
  2. s = 31,48   m
  3. t 2 = 3,04 s
  4. v = - 15 m / s
  5. t = 4,06 s
  6. v = - 24,83   m / s
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