Enunciado

A equação de van der Waals para n mols de um gás é

P + n 2 a V 2 V - n b = n R T

onde P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás particular. Calcule

∂ T ∂ P           e           ∂ P ∂ V

Passo 1

A questão fornece a equação de estado de uma gás de van der Waals:

P + n 2 a V 2 V - n b = n R T

Note que essa equação define T como função de P e V . Analogamente, podemos dizer que ela fornece P implicitamente como função de T e V . O que vamos fazer é encontrar algumas derivadas parciais!

Tomando T como função de P e V , podemos derivar a equação com relação a P :

n R ∂ T ∂ P = V - n b ⋅ ∂ ∂ P P + n 2 a V 2

Assim,

n R ∂ T ∂ P = V - n b ⋅ 1

Portanto,

∂ T ∂ P = V - n b n R

Passo 2

Agora vamos tomar P como função de T e V . Derivando implicitamente com relação a V :

V - n b ∂ ∂ V P + n 2 a V 2 + P + n 2 a V 2   ∂ ∂ V V - n b = ∂ ∂ V n R T = 0

Assim,

V - n b ∂ P ∂ V - 2 n 2 a V 3 + P + n 2 a V 2 = 0

Portanto,

∂ P ∂ V - 2 n 2 a V 3 = - 1 V - n b P + n 2 a V 2

Logo,

∂ P ∂ V = 2 n 2 a V 3 - 1 V - n b P + n 2 a V 2

Resposta

∂ T ∂ P = V - n b n R

∂ P ∂ V = 2 n 2 a V 3 - 1 V - n b P + n 2 a V 2

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