Enunciado

9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.

25. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ³

Passo 1

Para determinarmos se essa série converge ou diverge teremos que utilizar o Teste da Integral, tudo bem? Temos que f x = 1 x 2 + x ³ . Para essa função temos que aplicar a integral em um intervalo em que a função seja contínua, positiva e decrescente. No nosso caso isso ocorre em 1 ,   ∞ . Dessa forma, nossa integral será:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 1 x 2 + x ³ d x

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x ⇒ lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 x 2 + x ³ d x

E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, temos que simplificar o argumento, pois não é possível resolver a integral do jeito em que ela está apresentada! Uma maneira interessante é utilizarmos frações parciais. Para isso, teremos que escrever o denominador como um produto, e isso é bem tranquilão, né? Saca só:

x 2 + x 3 = x ² ( 1 + x )

1 x 2 1 + x = A x + B x 2 + C x + 1

Fazendo MMC, teremos:

A x + B x + 1 + C x ² x ² ( x + 1 ) = 1 x 2 1 + x

A x 2 + A x + B x + B + C x ² x ² ( x + 1 ) = 1 x 2 1 + x

A + C x 2 + A + B x + B = 1

Fazendo uma análise dos graus e dos coeficientes, teremos:

A + C = 0 A + B = 0 B = 1

Da segunda equação podemos tirar que A = - 1 e da terceira equação podemos tirar que C = 1 , logo, podemos escrever nossa f ( x ) da seguinte maneira:

A x + B x 2 + C x + 1 = 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1

Passo 3

Ufa! Depois de todo esse trabalho, agora sim vamos resolver essa bendita integral, se liga:

∫ 1 t 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1 d x

Para a primeira integral, temos que:

∫ 1 x 2 d x = - 1 x

Para a segunda integral, temos que:

- ∫ 1 x d x = - ln ⁡ x

Para a terceira integral, temos que:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ ( x + 1 )

Sendo assim, teremos:

∫ 1 t 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1 d x = - 1 x - ln ⁡ x + ln ⁡ x + 1 t 1

∴ ∫ 1 t 1 x 2 - 1 x + 1 x + 1 d x = - 1 t + ln ⁡ t + 1 t + 1 - ln ⁡ 2

Por fim, aplicando o limite, teremos:

lim n → ∞ ⁡ - 1 t + ln ⁡ t + 1 t + 1 - ln ⁡ 2 = 0 + 0 + 1 - ln ⁡ 2 = 1 - ln ⁡ 2

Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ³   é   c o n v e r g e n t e

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