Enunciado

Use the Divergence Theorem to calculate the surface integral   ∫ ∫ F     d S ; that is, calculate the flux of F across S

F x ,   y ,   z =   2 x 3   +   y 3 i + y 3 +   z 3   j +   3 y 2 z   k , S is the surface of the solid bounded by the paraboloide z =   1 -   x 2 -   y 2   and the xy-plane

Passo 1

Temos em mãos um problema de fluxo. E para isso podemos usar o teorema de Gauss

∫ ∫ S F * d S =   ∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

O fluxo através de uma superfície é igual ao Divergente da nossa função através do volume

Passo 2

Para nos será mais fácil trabalhar com a parte em 3 dimensões

∫ ∫ ∫ ∇ . F d V

Calcular o divergente é fácil, basta derivarmos parcialmente nossa função vetorial e somar

∇ .   F = d d x + d d y + d d z F

Então vamos calcular isso para

F x ,   y ,   z =   2 x 3   +   y 3 i + y 3 +   z 3   j +   3 y 2 z   k

∇ .   F = 6 x 2 + 3 y 2 + 3   y 2

∇ .   F = 6 (   x 2 + y 2   )

Passo 3

Vamos calcular essa integral

∫ ∫ ∫ 6 (   x 2 + y 2   ) d V

O volume é de um paraboloide circular. Então vamos precisar sermos sagazes aqui. Já que nossa região é circular, trabalhar em coordenadas polares será de grande ajuda. Então vamos trocar de nosso sistema de x , y , z → r , θ , z . E como a forma como medimos o espaço vai mudar, vamos ter que adicionar um fator de correção espacial – O jacobiano. O jacobiano de Polares é já tabelado – Multiplicamos por r .

Vamos usar a seguinte relação para trocar de variáveis

x 2 + y 2 = r 2

Então vamos la \o/

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 6 r 2 r d z d r d θ

Nossos limites de integração variam assim , z cresce de 0 até o topo do paraboloide 1 - x 2 - y 2 que em polares fica 1 - r 2 . O ângulo θ da uma volta completa então vai de [ 0,2 π ] e r cresce de [ 0,1 ] . Prontinho montamos todos os nossos limites vamos calcular

=   6 * 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - r 2 r 3 d z d r

= 12 π ∫ 0 1 r 3 1 - r 2   d r

=   12 π ∫ 0 1 r 3 - r 5   d r

= 12 π r 4 4 - r 6 6 0 1

= 12 π 1 4 - 1 6  

= π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S F * d S = π

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