Enunciado

Mostre que qualquer campo vetorial da forma

F → x , y , z = f x i → + g y j → + h z k → é irrotacional.

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que a condição para um campo vetorial ser irrotacional é que o rotacional desse campo deve ser zero, certo?

Dessa forma:

∇ × F → = 0

Passo 2

Como recordar é viver, aqui vai como se calcula o rotacional de algum vetor. Fazemos o produto vetorial do operador nabla ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) com o vetor a , b , c que se quer:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a b c

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Passo 3

Agora vamos aplicar o rotacional no campo dado:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f ( x ) g ( y ) h ( z ) = i → ∂ ∂ y h z - ∂ ∂ z g y + j → ∂ ∂ z f x - ∂ ∂ x h z + k → ∂ ∂ x g y - ∂ ∂ y f x

Como falei ali no passo 2 , a derivada parcial conta como constante qualquer outra variável que não seja àquela a quem ela se refere. Portanto, todas essas derivadas que aparecem são zero.

Assim, o rotacional desse campo é zero:

∇ × F → = 0

E assim esse campo é irrotacional

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que qualquer campo vetorial da forma F → x , y , z = f y , z i → + g x , z j → + h x , y k → é incompressível.
Use o Exercício 27 para mostrar que a integral de linha ∫ C yd x + xd y + x y zd z não é independente do caminho.
Mostre que, se um campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é conservativo e P ,Q ,R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x ∂ Q ∂ z = ∂ R ∂ y
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | 1x 2 + y 24 }
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 1o u4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 }