Enunciado

  1. O que há de errado com a equação a seguir?
  2. x 2 + x - 6 x - 2 = x + 3

  3. Em vista de (a), explique por que a equação

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = lim x → 2 ⁡ ( x + 3 )

está correta.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar o que há de errado com a igualdade:

x 2 + x - 6 x - 2 = x + 3

E o por quê de quando aplicarmos o limite dos dois lados, isso estará correto:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = lim x → 2 ⁡ ( x + 3 )

Para verificar isso, devemos observar se essas funções são de fato equivalentes, de modo que possuam o mesmo domínio (o mesmo conjunto de valores para x ) e a mesma imagem f ( x ) .

Para analisar o domínio de uma função, geralmente olhamos para os valores que essa função não pode assumir, que são os chamados pontos de restrição. Isso pode ser um denominador igual a zero, uma raiz quadrada negativa e por aí vai.

No nosso caso, temos uma fração do lado esquerdo, então vamos analisar os valores que o denominador pode ou não assumir, para evitar que ele seja zero. Depois vamos comparar com as possíveis restrições de x + 3 e ver se esses domínios são iguais.

Por fim, vamos inserir o conceito de limite e verificar porque ele pode ser aplicado ali.

Vamos lá!

Passo 2

(a) Vamos analisar a igualdade:

x 2 + x - 6 x - 2 = x + 3

Como vimos no passo 1 , o denominador de uma fração não pode ser zero, então temos:

x - 2 ≠ 0

Logo,

x ≠ 2

Isso significa que a função f x = x 2 + x - 6 x - 2 não pode assumir o valor 2 , ela tem essa restrição. Então, seu domínio são todos os números reais exceto 2 :

D f = R - 2

Agora analisando a função g x = x + 3 , vemos que ela é uma função polinomial, que pode assumir qualquer valor em seu domínio, inclusive o 2 . Assim, temos:

D g = R

Dessa forma, percebemos que as duas funções não são de fato iguais e por isso existe um erro naquela igualdade.

Passo 3

(b) Agora vamos aplicar o limite:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = lim x → 2 ⁡ ( x + 3 )

Pra calcular esse limite, precisamos fugir da indeterminação, então podemos fatorar a expressão da esquerda:

l i m x → 2 x + 3 x - 2 x - 2 = l i m x → 2 ( x + 3 )

E simplificando ficaríamos com a mesma coisa do outro lado:

lim x → 2 ⁡ ( x + 3 ) = lim x → 2 ⁡ ( x + 3 )

Mas por quê agora eu posso dizer que essa igualdade é válida? Porque o limite analisa os valores de uma função, nas proximidades de um ponto, mas não no ponto exatamente.

Em outras palavras, isso é válido porque f x = g ( x ) , exceto quando x = 2 . E no cálculo de um limite, quando x tende a 2 , não consideramos o que acontece quando x é exatamente 2 .

Ou seja, a expressão acima, não se trata do valor da função em x = 2 e e sim o comportamento da função próxima a este ponto, portanto, vale o cancelamento que é feito e é valido a igualdade.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. Perceba que essa equação só será válida quando x ≠ 2 .
  2. Igualdade está correta, pois o limite analisa os valores de uma função na proximidade de um ponto, mas não no ponto exatamente.
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