Enunciado

Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

r = 2 + s e n   θ ,               r = 3   s e n   θ

Passo 1

O problema pede para acharmos a área da região dentro da curva r = 2 + s e n   θ e fora da curva r = 3   s e n   θ . Um esboço das duas curvas é dado a seguir:

Note que a curva interna é o círculo de raio r = 3 / 2 . Assim, basta fazer a área da curva externa e subtrair a área do círculo:

A d e n t r o = π ⋅ 3 2 2 = 9 π 4

Passo 2

Para a área da curva externa, fazemos:

A f o r a = 1 2 ∫ 0 2 π 2 + s e n   θ 2   d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 4 + 4   s e n   θ + s e n 2 θ   d θ

Aí temos que lembrar que

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Portanto,

A f o r a = 1 2 ∫ 0 2 π 4 + 4   s e n   θ + 1 - cos ⁡ 2 θ 2   d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 9 2 + 4   s e n   θ - cos ⁡ 2 θ 2   d θ

Como os limites de integração são na volta completa, podemos simplesmente desprezar os termos trigonométricos pois elas são periódicos:

A f o r a = 1 2 ⋅ 9 2 ⋅ 2 π = 9 π 2

Portanto, a área pedida é

A = A f o r a - A d e n t r o = 9 π 2 - 9 π 4 = 9 π 4

Resposta

A = 9 π 4

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