Enunciado

(a) Esboce o campo vetorial F x ,   y = i + x   j e algumas linhas de escoamento. Qual é o formato que essas linhas de escoamento parecem ter?

(b) Se as equações paramétricas das linhas de escoamento são x = x t   ,   y = y t   , que equações diferenciais essas funções satisfazem? Deduza que d y d x = x .

(c) Se uma partícula está na origem no instante inicial e o campo de velocidade é dado por F , determine uma equação para a trajetória percorrida por ela.

Passo 1

(a) Galera, bora fazer o esboço do campo vetorial com algumas linhas de escoamento?

Bom, parece que as linhas de escoamento têm formato de parábolas, né?

Passo 2

(b) Olhando pra F x ,   y = i + x   j , vemos que as seguintes equações devem ser satisfeitas:

d x d t = 1                     e                   d y d t = x

Então,

d y d t d x d t = x 1

d y d x = x

Passo 3

Pra determinar uma equação para a trajetória percorrida pela partícula, vamos resolver a equação diferencial:

d y d x = x ⇒ d y = x   d x ⇒ y = x 2 2 + C

Pra determinar a constante C , basta usar o fato de que a partícula estava na origem no instante inicial, ou seja, a linha de escoamento passa por 0 ,   0 :

0 = 0 2 2 + C

C = 0

Então, chegamos à equação:

y = x 2 2

Resposta

(b) d x d t = 1                     e                   d y d t = x

(c) y = x 2 2

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