Enunciado

Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela.

r = 2   s e n   θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto aqui!! A gente quer esboçar a seguinte curva e calcular a área dela:

r = 2   s e n   θ

Lembra de como encontramos a área A de uma curva polar?? Assim, olha:

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

A gente vai determinar os limites de integração ao analisar seu gráfico, certinho?? Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos plotar o nosso gráfico... mas vamos começar assim: primeiramente vamos plotar no plano cartesiano para entendermos melhor, certinho??

A nossa curva r = 2   s e n   θ é muito parecida com a curva do seno.

Mas, analisando a diferença entre as duas, temos que a nossa tem um 2 multiplicando o seno. Isso significa que a amplitude do nosso seno dobra.

Assim, temos:

Passando para o plano polar, podemos ver que de 0 a π 2 radianos, r passa de 0 para 2 , logo:

Em seguida, de π 2 a π radianos, r passa de 2 para 0 , fechando o ciclo:

Lembrando que como estamos utilizando coordenadas polares os valores de r são positivos.

Passo 3

Agora vamos calcular nossa área!!

Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornece extamente a área da curva.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico.

A linha que forma a fronteira do gráfico começa em 0 e dá meia volta, ou seja, percorre um ângulo θ = π   r a d .

Nesse caso o ângulo não é 2 π , pois a cincunferência está deslocada para cima do eixo horizontal, desta forma o ângulo varre apenas dois quadrantes o que equivale a π   r a d .

Passo 4

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ π e substituindo r = 2   s e n   θ , obtemos:

A = ∫ 0 π 1 2 ∙ 4   s e n 2 θ d θ ∴

A = 2 ∫ 0 π s e n 2 θ   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: s e n 2 θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

A = 2 ∫ 0 π 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ )   d θ ∴

A = ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 θ   d θ

Resolvendo a integral:

A = θ - 1 2 s e n   2 θ 0 π

Aplicando os limites de integração:

A = π - 0 - 0 - 0 ∴

A = π

Resposta

A = π

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