Enunciado

Calcule o comprimento exato da curva polar:

r = 2 c o s theta

0 <= theta <= pi

Passo 1

A curva é dada por:

Passo 2

Para encontrarmos o comprimento desejado,devemos lembrar que o comprimento de arco é dado por:

L = int_a^b sqrt(r^2 + ((d r)/(d theta))^2) d theta

Temos que r = 2 c o s theta , logo:

(d r)/(d theta) = - 2 s e n theta

Passo 3

Aplicando na equação do arco, temos:

L = int_0^(pi) sqrt(( 2 c o s theta )^2 + (- 2 s e n theta)^2) d theta = int_0^(pi) sqrt(4 (cos^2 theta + s e n^2 theta)) d theta = 2 int_0^(pi) d theta = 2 pi

Passo 4

Uma forma de confirmar tal resultado é notar que a curva é dada em coordenadas cartesianas por:

r = 2 c o s theta :. r = (2 x)/(r) harr r^2 - 2 x = 0 harr x^2 - 2 x + y^2 = 0

Ou seja, completando quadrados:

(x - 1)^2 + y^2 = 1

Dessa forma, temos que a curva é uma circunferência de raio 1, cuja circunferência é 2 pi .

Resposta

O arco possui comprimento de 2 pi .

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Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro. r = t g θ π 6
Calcule o comprimento exato da curva polar:r = 5^(theta) 0 = theta = 2 pi
Calcule o comprimento exato da curva polar: r = 2 ( 1 + c o s θ )
51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.53. r =