Enunciado

Seja F → x , y , z = z t g - 1 y 2 i → + z 3 ln ⁡ x 2 + 1 j → + z k → . Determine o fluxo de F → através da parte do paraboloide x 2 + y 2 + z = 2 que está acima do plano z = 1 e está orientada para baixo.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x z t g - 1 y 2   + ∂ ∂ y z 3 ln ⁡ x 2 + 1 + ∂ ∂ z z = 1

Certo? Agora vamos ver a região de integração!

Passo 2

A região de integração é um paraboloide:

z = 2 - x 2 - y 2 z = 1

Em coordenadas cilíndricas temos:

x = r c o s θ y = r s e n θ z = z

Os limites de integração vão ser:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π 1 ≤ z ≤ 2 - r 2

E o diferencial de volume vai ser d V = r d z d r d θ

Agora é só montar a integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 1 2 - r 2 1 r d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r - r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 1 2 - 1 4 ∫ 0 2 π d θ = - 1 4 . 2 π = - π 2

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = - π 2

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