Enunciado

Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela.

r = 1 - s e n   θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto aqui!! A gente quer esboçar a seguinte curva e calcular a área dela:

r = 1 - s e n   θ

Lembra de como encontramos a área A de uma curva polar?? Assim, olha:

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

A gente vai determinar os limites de integração ao analisar seu gráfico, certinho?? Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos plotar o nosso gráfico... mas vamos começar assim: primeiramente vamos plotar no plano cartesiano para entendermos melhor, certinho??

A nossa curva r = 1 - s e n   θ será muito parecida com a curva do seno.

Mas, analisando a diferença entre as duas, temos que a nossa tem uma soma em uma unidade (o que faz “subir” o gráfico em uma unidade) e o seno está negativo (o que faz ele inverter).

Assim, temos:

Passando para o plano polar, podemos ver que ele sai do ponto 1,0 e vai para o ponto 0 , π 2 com uma amplitude baixa, assim:

Agora, passando para o ponto 1 , π o nosso gráfico tem esse mesmo comportamento:

Vemos que nosso gráfico terá amplitude máxima em θ = 3 π 2 , veja:

E percebemos que até 2 π temos o mesmo comportamento. Assim, nossa curva final é dada da seguinte forma:

Passo 3

Agora vamos calcular nossa área!!

Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornece extamente a área da curva.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico.

A linha que forma a fronteira do gráfico começa em (0, π / 2 ) e da uma volta inteira, ou seja, percorreu um ângulo θ = 2 π   r a d .

Passo 4

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ 2 π e substituindo r = 1 - s e n   θ , obtemos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 1 - s e n   θ 2 d θ

Fazendo o produto notável, temos:

A = 1 2 ∫ 0 2 π ( 1 - 2   s e n   θ + s e n 2 θ )   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: s e n 2 θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π 1 - 2   s e n   θ + 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ ∴

A = 1 2 ∫ 0 2 π 3 2 - 2   s e n   θ - 1 2 cos ⁡ 2 θ   d θ

Resolvendo a integral, temos:

A = 1 2 ∙ 3 2 θ + 2 cos ⁡ θ - 1 4 s e n   2 θ 0 2 π

Aplicando os limites de ntegração:

A = 1 2 ∙ 3 2 ∙ 2 π + 2 - 0 - 0 + 2 - 0

A = 3 2 π

Resposta

A = 3 2 π

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