Enunciado

Esboce a curva e calcule a área limitada por ela

r^2 = 4 cos 2 theta

Passo 1

Primeiro vamos esboçar nossa curva, depois a gente calcula a área.

Para esboçar, vamos escolhar alguns valores de theta dentro do intervalo 0 <= theta <= 2 pi e obter os valores de r correspondentes. Assim a gente plota os pontos ( r , theta ) , depois liga.

Vamos fazer dessa forma manual porque nessa questão ele não pede pra usar ferramenta gráfica, ok?

Plotando esses pontos e ligando tudo, vamos ter a curva:

Passo 2

Agora sim vamos calcular a área da curva!

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = int_a^b (1)/(2) r^2 d theta

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 3

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:

a = 0

b = 2 pi

Maaaas, repare que a curva é simétrica e pode ser dividida pelo eixo x e pelo eixo y em 4 regiões. Como ela cruza os eixos quando theta = pi e theta = (pi)/(2) , ou seja, no intervalo

0 <= theta <= (pi)/(4)

A gente pode calcular a área da curva apenas nesse intervalo e depois multiplicar por 4 .

O r^2 é a própria parametrização

r^2 = 4 cos 2 theta

Então é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A_1 = (1)/(2) int_0^((pi)/(4)) 4 cos 2 theta d theta

A_1 = (4)/(2) int_0^((pi)/(4)) cos 2 theta d theta

A_1 = 2 [ (1)/(2) sen 2 theta ] [[(pi)/(4)],[0]]

A_1 = [ sen (2 pi)/(4) - sen 0 ] [[pi,//,4],[0]]

A_1 = 1

Assim,

A_T = 4 xx A_1 = 4 xx 1 = 4

Resposta

A = 4

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