Enunciado

Encontre a área da região dentro de um laço, onde r = 1 + 2 s e n θ .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R é uma primitiva de 1 2 r θ 2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

No problema, precisamos identificar o intervalo onde a curva faz um laço, como a função que determina o raio e periódica de período menor que 2 π em algum momento ela “se fecha” e esse intervalo será nosso domínio de integração.

Passo 2

Nessa função, teremos um laço dentro outro: se o seno for negativo teremos um laco menor e se o seno for positivo teremos um laço maior, tudo por causa da soma de um número na função.

Como queremos o seno negativo, temos o intervalo [ π , 2 π ] , nele o seno zera nos extremos e e negativo.

Passo 3

Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = ∫ π 2 π 1 + 2   s e n θ 2 2 d θ = ∫ π 2 π 1 + 4 s e n θ + 4 s e n θ 2 2 d θ  

Precisamos de uma substituição para resolver essa integral:

Usando as relações: s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e a fórmula do arco duplo do cosseno: cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 ( θ ) . Trocando θ , passando o cosseno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:

s e n θ 2 = 1 - cos ⁡ 2 θ 2  

Passo 4

Agora, separando e substituindo a expressão na integral e resolvendo:

=   ∫ π 2 π 1 2 d θ + ∫ π 2 π 2 s e n θ d θ + ∫ π 2 π 2 s e n θ 2 d θ

Para a terceira integral:

∫ π 2 π 2 s e n θ 2 d θ = ∫ π 2 π 1 - cos ⁡ 2 θ   d θ = π - s e n 4 π 2 + s e n 2 π 2 = π

Entao:

∫ π 2 π 1 2 d θ + ∫ π 2 π 2 s e n θ d θ + ∫ π 2 π 2 s e n θ 2 d θ = π 2 - 2 cos ⁡ 2 π + 2 cos ⁡ π + π

Resposta

Logo, a resposta será 3 π 2 .

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