Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 21
Encontre a área da região dentro de um laço, onde .
Passo 1
Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo .
Teremos que onde é uma primitiva de , ou seja, se derivarmos teremos a função dentro da integral.
No problema, precisamos identificar o intervalo onde a curva faz um laço, como a função que determina o raio e periódica de período menor que em algum momento ela “se fecha” e esse intervalo será nosso domínio de integração.
Passo 2
Nessa função, teremos um laço dentro outro: se o seno for negativo teremos um laco menor e se o seno for positivo teremos um laço maior, tudo por causa da soma de um número na função.
Como queremos o seno negativo, temos o intervalo , nele o seno zera nos extremos e e negativo.
Passo 3
Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:
Precisamos de uma substituição para resolver essa integral:
Usando as relações: e a fórmula do arco duplo do cosseno: . Trocando , passando o cosseno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:
Passo 4
Agora, separando e substituindo a expressão na integral e resolvendo:
Para a terceira integral:
Entao:
Resposta
Logo, a resposta será .