Enunciado

Encontre a área da região dentro de um laço, onde r = 3 c o s 5 θ .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R é uma primitiva de 1 2 r θ 2 .

No problema, precisamos identificar o intervalo onde a curva faz um laço, como a função que determina o raio e periódica de período menor que 2 π em algum momento ela “se fecha” e esse intervalo sera nosso domínio de integração.

Passo 2

Temos que r π 10 = 0 = r π 10 + π 5 = r ( 3 π 10 ) , então temos um dos intervalos possíveis para um laço: π 10   , 3 π 10 .

Passo 3

Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = ∫ 0 π 3 9   c o s 5 θ 2 2 d θ  

Precisamos de uma substituição para resolver essa integral, vamos la:

Usando as relações: s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e a fórmula do arco duplo do cosseno: cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 ( θ ) . Trocando θ por 5 θ   , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:

c o s 5 θ 2 = 1 + cos ⁡ 10 θ 2  

Passo 4

Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:

∫ π 10 3 π 10 9   c o s 5 θ 2 2 d θ = 9 ∫ π 10 3 π 10 1 + cos ⁡ 10 θ 4   d θ   =   ∫ π 10 3 π 10 9 4 d θ - ∫ π 10 3 π 10 9   cos ⁡ 10 θ 4 d θ

Usando que uma primitiva da função na segunda integral é 9 s e n 10 θ 40 , temos

= 9 4   3 π 10 - π 10 - 9 s e n 3 π 40 - 9 s e n π 40 = 9 4 . 2 π 10

Resposta

Logo, a resposta será 9 π 20 .

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