Enunciado

Esboce a curva com a equação x 2 3 + y 2 3 = 1 e usa a simetria para achar seu comprimento.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o esboço da curva x 2 3 + y 2 3 = 1 e usar a simetria dela para achar o seu comprimento.

Bom, o esboço dessa curva será o seguinte:

Perceba que ela é simétrica em relação aos eixos x e y . Agora para achar seu comprimento, vamos usar a fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Vamos lá!

Passo 2

Para calcular o comprimento, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula. E perceba que como a nossa figura é simétrica, podemos calcular o comprimento do primeiro quadrante e multiplicar por 4 . O intervalo de integração será então [ 0,1 ] e a função será dependente dos valores de x .

Mas antes, vamos isolar o y na equação da curva:

x 2 3 + y 2 3 = 1     →         y 2 3 = 1 - x 2 3    

Logo, temos:

→       f x = y = 1 - x 2 3 3 2

Passo 3

Precisamos de [ f ’ x ] e do intervalo de integração para montar a integral. Se f x = 1 - x 2 3 3 2 , então derivando, temos:

f ' x = 3 2 1 - x 2 3 3 2 - 1 1 - x 2 3 '

f ' x = 3 2 1 - x 2 3 1 2 - 2 3 x 2 3 - 1

Colocando x - 1 3 em evidência:

f ' x = - x - 1 3 1 - x 2 3 1 2      

Como a nossa fórmula do comprimento de arco, tem derivada ao quadrado, vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado para obter:

f ' x 2 = x - 2 3 1 - x 2 3  

= x - 2 3 - 1      

Passo 4

Já o intervalo de integração será de x = 0 até x = 1 .

Sendo assim, o comprimento será dado por:

L = 4 ∫ 0 1 1 + x - 2 3 - 1 d x

Simplificando:

L = 4 ∫ 0 1 x - 2 3 d x

L = 4 ∫ 0 1 x - 1 3 d x

Passo 5

Dessa forma, integrando, temos:

L = = 4 x - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 0 1

Calculando as somas:

L = 3 ⋅ 4 x 2 3 2 0 1

Simplificando:

L = 6 x 2 3 0 1

E aplicando os limites de integração, temos:

L = 6

Sendo assim, o comprimento será 6   u . c .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = 6   u . c

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