Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.

  1. x = 1 + raiz(t), y = t^2 - 4t, 0 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar a curva que tem as equações paramétricas dadas por:

x = 1 + t ,       y = t 2 - 4 t ,           0 ≤ t ≤ 5

Bom, para fazer isso, vamos atribuir alguns valores a t , marcar os pontos obtidos no gráfico e verificar a forma da nossa curva.

Vamos lá!

Passo 2

Como nosso intervalo vai de 0 a 5 , vamos verificar o valor de x e y nesses pontos, fazendo:

x = 1 + 0 = 1

y = 0 2 - 4 ⋅ 0 = 0

E

x = 1 + 5 ≈ 3,24

y = 5 2 - 4 ⋅ 5 = 5

Então, nosso gráfico vai do ponto ( 1 ,   0 ) até o ponto ( 3,24 ;   5 ) .

Passo 3

Agora vamos atribuir outros valores a t .

Para t = 1 , temos:

x = 1 + 1 = 2

y = 1 2 - 4 ⋅ 1 = - 3

Aí obtemos o ponto ( 2 ,   - 3 ) .

Para t = 2 , temos:

x = 1 + 2 ≈ 2,41

y = 2 2 - 4 ⋅ 2 = - 4

Então, obtemos o ponto ( 2,41 ;   - 4 ) .

Para t = 3 , temos:

x = 1 + 3 ≈ 2,73

y = 3 2 - 4 ⋅ 3 = - 3

E obtemos ( 2,73 ;   - 3 ) .

Para t = 4 , temos:

x = 1 + 4 = 3

y = 4 2 - 4 ⋅ 4 = 0

E obtemos ( 3 ,   0 ) .

Passo 4

Aqui já conseguimos perceber que o menor valor de y no intervalo é - 4 , no ponto ( 2,41 ;   - 4 ) . Além disso, repare que conforme t cresce, o x cresce lentamente de 1 até 3,24 . E o y desce até - 4 e depois sobe até 5 .

Assim, já podemos marcar nosso pontos no plano cartesiano e liga-los para obter a curva:

Observe que a direção da curva é dada pelas setas, começando no ponto ( 1 ,   0 ) , depois desce e passa por ( 2 , - 3 ) e chega ao ponto mais baixo ( 2,41 ; - 4 ) . Depois sobe de volta passando por ( 3,0 ) e termina em ( 3,24 ; 5 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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