Esboce o gráfico.

y = (x - 1) / x^2

Passo 1

Note que o domínio dessa função é todo x real, tal que x ≠ 0 .

Vamos derivar para achar os intervalos de crescimento e decrescimento:

y ' = x 2 - x - 1 2 x x 4 = - x 2 + 2 x x 4 = 2 - x x 3

Sendo assim, teremos crescimento quando y ' > 0 , ou seja:

0 < x < 2

E decrescimento quando:

x < 0 ou x > 2

Desse modo, x = 2 corresponderá a um ponto de máximo local.

Passo 2

Para estudar a concavidade, vamos derivar novamente:

y ' ' = - x 3 - 2 - x 3 x 2 x 6 = 2 x 3 - 6 x 2 x 6 = 2 x - 3 x 4

Sendo assim, teremos concavidade para cima quando y ' ' > 0 , ou seja:

x > 3

E concavidade para baixo quando:

x < 3

Desse modo, x = 3 corresponderá a um ponto de inflexão.

Passo 3

Agora vamos buscar assíntotas horizontais, calculando os seguintes limites:

lim x → ± ∞ ⁡ y = lim x → ± ∞ ⁡ x - 1 x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 x - 1 x 2 = 0

Ou seja, nos dois extremos do domínio teremos retas assíntotas horizontais y = 0 .

Como x = 0 não pertence ao domínio da função, vamos calcular os seguintes limites laterais, a fim de achar assíntotas verticais:

lim x → 0 + ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ x - 1 x 2 = - ∞

lim x → 0 - ⁡ y = lim x → 0 - ⁡ x - 1 x 2 = - ∞

Desse modo, x = 0 é uma assíntota vertical.

Passo 4

Por último, vamos calcular as raízes da função:

x - 1 x 2 = 0 ⇒ x = 1

Agora já temos um bocado de informação sobre o gráfico da função. Bora fazer o esboço?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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