Enunciado

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y =   1 - x 2 ( 2 x + 1 )

Passo 1

Primeiramente, veja que o domínio da função depende que 1 - x 2 > 0 → - x 2 > - 1 → x 2 < 1 → x > - 1   e   x < 1 e 2 x + 1 ≠ 0 → x ≠ - 1 2

Então, o domínio da função é: - 1 ,   - 1 2 ⋃ - 1 2 ,   1

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 1 2 1 - x 2 - 2 x 2 x + 1 - 2 1 - x 2 2 x + 1 2

Que desenvolvendo, chegamos em:

y ' = - x - 2 1 - x 2 2 x + 1 2

A derivada segunda agora:

y ' ' = - 1 1 - x 2 2 x + 1 2 - - x - 2 1 2 1 - x 2 - 2 x 2 x + 1 2 + 2 2 x + 1 2 1 - x 2     1 - x 2 2 x + 1 2

Desenvolvendo essa coisa linda, chegamos em:

y ' ' = - 4 x 3 - 12 x 2 + 7 1 - x 2 1 - x 2 2 x + 1 3

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = - x - 2 1 - x 2 2 x + 1 2 = 0  

Bom, só o numerador pode ser zero né? Então...

y ' =   - x - 2 = 0 → x = - 2

Porém, veja que esse valor está fora do domínio, então, para acharmos os pontos de máximos e mínimos, vamos fazer a análise de sinais.

Passo 3

Então, a função é decrescente em todo o seu domínio.

E temos pontos de máximos locais em x = - 1 e de mínimo local em x = 1 , que são onde cortam o eixo x.

Passo 4

Bom, veja que a derivada segunda é dada por:

y ' ' =   - 4 x 3 - 12 x 2 + 7 1 - x 2 1 - x 2 2 x + 1 3

Ela vai ser zero, quando - 4 x 3 - 12 x 2 + 7 = 0 isso ocorre quando x = - 0,92 e x = 0,69 (aqui recomendo que usem um programinha para achar as raízes) que são nossos pontos de inflexão.

Então, a função tem concavidade para cima em ( - 1 ,   - 0,92 ) e - 1 2 ,   069 e tem a concavidade para baixo em - 0,92 ,   - 1 2 e 0,69,1 .

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = 1 x 2 - 9
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = x 2 x 2 + 9
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = x - 1 x 2
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = x x - 1 2
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva. y = x + c o sx