9. Sejam alpha != 0 e beta constantes. Verifique que

b )   ∫ 1 α 2 + x + β 2 d x = 1 α tan - 1 ⁡ x + β α + k

Passo 1

Podemos perceber que essa integral se assemelha com a integral ∫ 1 1 + x 2 d x =   tan - 1 ⁡ x + k . Vamos tentar arrumar a integral que nós temos para que as duas fiquem iguais. Para isso, primeiro vamos tentar transformar o a 2 em 1. Logo, vamos dividir o numerador e o denominador por a 2

∫ 1 a 2 + x 2 d x =   ∫ 1 a 2 a 2 + x + β 2 a 2 d x =   ∫ 1 a 2 a 2 a 2 + x + β 2 a 2 d x =   1 a 2 ∫ 1 1 + x + β a 2 d x

Passo 2

Já está bem parecida. No entanto, para melhorar, vamos fazer u = x + β a = x α + β α   ⟹ d u = d x a . Assim,

1 a 2 ∫ 1 1 + x + β a 2 d x = 1 a ∫ 1 1 + x + β a 2 d x a = 1 a ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 a tan - 1 ⁡ u + k

= 1 a tan - 1 ⁡ x + β a + k

Portanto, verificamos que

∫ 1 α 2 + x + β 2 d x = 1 α tan - 1 ⁡ x + β α + k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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