Esboce o gráfico.

y = (x^3 - x + 1) / x^2

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D f = x ≠ 0 .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Vamos então aplicar:

f ' x = x 3 - x + 1 x 2 ' = x 3 - x + 1 ' x 2 - x 3 - x + 1 x 2 ' x 2 2 = 3 x 2 - 1 + 0 x 2 - x 3 - x + 1 2 x x 4 = 3 x 4 - x 2 - 2 x 4 + 2 x 2 - 2 x x 4 = x 3 + x - 2 x 3

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

x 3 + x - 2 = 0 → x - 1 x + 2 = 0 → x = 0   e   x = - 2

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para x + 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 2 e assume valores positivos quando x > - 2 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f ' x > 0 , temos um ponto de descontinuidade em 0 :

- ∞ , 0 e 1 , + ∞

E f ' x < 0 :

0 , 1

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 1 , + ∞

f é estritamente decrescente em 0,1

Passo 4

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = x 3 + x - 2 x 3 ' = x 3 + x - 2 ' x 3 - x 3 + x - 2 x 3 ' x 3 2 = 3 x 2 + 1 x 3 - x 3 + x - 2 3 x 2 x 6 = 3 x 5 + x 3 - 3 x 5 - 3 x 3 + 6 x 2 x 6 = - 2 x 3 + 6 x 2 x 6 = - 2 x + 6 x 4

f ' ' x > 0 em x < 0 e 0 < x < 3 , tendo a concavidade voltada para cima, e f ' ' x < 0 em x > 3 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em 3 .

Passo 5

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 3 - x + 1 x 2 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - x + 1 x 2 = - ∞

Passo 6

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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