Enunciado

Esboce o gráfico.

y = (x^3 - x + 1)/(x^2)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = x != 0 .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Vamos então aplicar:

f^' (x) = ((x^3 - x + 1)/(x^2))^' = ((x^3 - x + 1)^' (x^2) - (x^3 - x + 1) (x^2)^')/([x^2]^2) = ((3 x^2 - 1 + 0) (x^2) - (x^3 - x + 1) (2 x))/(x^4) = (3 x^4 - x^2 - 2 x^4 + 2 x^2 - 2 x)/(x^4) = (x^3 + x - 2)/(x^3)

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) :

x^3 + x - 2 = 0 -> (x - 1) (x + 2) = 0 -> x = 0 e x = - 2

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para x + 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 2 e assume valores positivos quando x > - 2 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f^' (x) > 0 , temos um ponto de descontinuidade em 0 :

]- oo , 0[ e [1 , + oo[

E f^' (x) < 0 :

]0 , 1]

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em ]- oo , 0[ e [1 , + oo[

f é estritamente decrescente em ]0,1]

Passo 4

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = ((x^3 + x - 2)/(x^3))^' = ((x^3 + x - 2)^' (x^3) - (x^3 + x - 2) (x^3)^')/([x^3]^2) = ((3 x^2 + 1) (x^3) - (x^3 + x - 2) 3 x^2)/(x^6) = (3 x^5 + x^3 - 3 x^5 - 3 x^3 + 6 x^2)/(x^6) = (- 2 x^3 + 6 x^2)/(x^6) = (- 2 x + 6)/(x^4)

f^(' ') (x) > 0 em x < 0 e 0 < x < 3 , tendo a concavidade voltada para cima, e f^(' ') (x) < 0 em x > 3 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em 3 .

Passo 5

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) (x^3 - x + 1)/(x^2) = + oo

underset(x -> - oo)(lim) (x^3 - x + 1)/(x^2) = - oo

Passo 6

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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33 (a)Se f ( x ) = x - ( 2 / x ) , encontre f ´ ( x ) . (b) Verifique se sua resposta em (a) foi razoável e comparando os gráficos de f e f ´
5-13.Trace ou copie o gráfico de f . (Suponha os eixos com a mesma escala.) Use o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .
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32 (a)Esboce o gráfico de f ( x ) = 6 - x começando pelo gráfico de y = x e usando as transformações da Seção 1.3. ( b ) Use o gráfico da parte ( a ) para esboçar o gráfico f ' (c)Use a definição de d