Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = e^x - 3 e^(- x) - 4 x

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = e^x - 3 e^(- x) - 4 x

Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será x in R .

Passo 2

Agora vamos ver como fica nossa função em alguns pontos:

f (x) = e^x - 3 e^(- x) - 4 x

Se x = 0 :

f (0) = - 2

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = e^x - 3 e^(- x) - 4 x

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = e^(- x) - 3 e^x + 4 x

Com isso, vemos que f (x) != - f (- x) e f ( x ) != f (- x) . Portanto, nossa função não será ne par nem ímpar.

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas.

  1. Assíntota horizontal:

L = underset(x -> oo)(lim) e^x - 3 e^(- x) - 4 x

Logo,

L = underset(x -> oo)(lim) (e^(2 x) - 3 - 4 x e^x)/(e^x)

Resolvendo o limite:

L = oo

Então, vemos que não teremos nenhuma assíntota horizontal.

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f (x) = e^x - 3 e^(- x) - 4 x

Derivando,

f^' (x) = e^x + 3 e^(- x) - 4

Então,

f^' (x) = (e^(2 x) - 4 e^x + 3)/(e^x)

Para f^' (x) > 0 :

(e^(2 x) - 4 e^x + 3)/(e^x) > 0

Logo,

e^(2 x) - 4 e^x + 3 > 0

Resolvendo a inequação:

x < 0 ou x > ln (3)

Logo, nossa função será crescente no intervalo acima.

Para f^' (x) < 0 :

(e^(2 x) - 4 e^x + 3)/(e^x) < 0

Isto é,

e^(2 x) - 4 e^x + 3 < 0

Resolvendo a inequação:

0 < x < ln (3)

Assim, nossa função será decrescente no intervalo acima.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

f^' (x) = (e^(2 x) - 4 e^x + 3)/(e^x)

Logo,

e^(2 x) - 4 e^x + 3 = 0

Resolvendo, temos:

x = ou x = ln (3)

Passo 7

Para acharmos as concavidades da curva vamos analisar o sinal da segunda derivada. Vem comigo!

f^' (x) = e^x + 3 e^(- x) - 4

Derivando,

f^(' ') (x) = e^x - 3 e^(- x)

Para f^(' ') (x) > 0 :

e^x - 3 e^(- x) > 0

Logo,

(e^(2 x) - 3)/(e^x) > 0

Resolvendo a inequação:

x > (ln (3))/(2)

Isso quer dizer que nossa curva terá concavidade para cima no para x > (ln (3))/(2) .

Para f^(' ') (x) < 0 :

e^x - 3 e^(- x) < 0

Logo,

(e^(2 x) - 3)/(e^x) < 0

Resolvendo:

x < (ln (3))/(2)

Portanto, nossa curva terá concavidade para baixo no para x < (ln (3))/(2) .

Passo 8

Pra finalizar, basta esboçarmos o gráfico de f :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos Exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f ; os intervalos nos quais f
Esboce o gráfico. y = 4 x + 3 x 2 1 + x 2
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = x x - 4 3
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Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = 1 5 x 5 - 8 3 x 3 + 16 x