Esboce o gráfico.

f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

f ' x = x 3 - 3 x 2 + 3 x ' = 3 x 3 - 1 - 2 ⋅ 3 x 2 - 1 + 3 x 1 - 1 = 3 x 2 - 6 x + 3 x 0 = 3 x 2 - 6 x + 3 ⋅ 1 = 3 x 2 - 6 x + 3

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x igualando a zero:

3 x 2 - 6 x + 3 = 0 ↔ 3 x - 1 2 = 0

Vamos analisar o sinal da expressão, temos que não importa o valor de x , a expressão é sempre positiva, assim:

f é estritamente crescente

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = 3 x 2 - 6 x + 3 ' = 2 ⋅ 3 x 2 - 1 - 6 x 1 - 1 + 0 = 6 x - 6 x 0 = 6 x - 6 ⋅ 1 = 6 x - 6

Igualando a 0 :

6 x - 6 = 0 → x = 1

Vamos analisar agora o sinal de f ' ' x :

f ' ' x > 0 em x > 1 , tendo a concavidade voltada para cima, e f ' ' x < 0 em x < 1 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em 1 , pois nesse ponto há uma mudança de concavidade.

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 3 x 2 + 3 x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 3 x 2 + 3 x = - ∞

Passo 5

E por último vamos achar as raízes de f :

x 3 - 3 x 2 + 3 x = 0 → x x 2 - 3 x + 3 = 0

Temos como raiz real apenas:

x = 0

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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