Enunciado

Esboce o gráfico.

f (x) = x^3 - 3 x^2 + 3 x

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Vamos então aplicar:

f^' (x) = (x^3 - 3 x^2 + 3 x)^' = 3 x^(3 - 1) - 2 * 3 x^(2 - 1) + 3 x^(1 - 1) = 3 x^2 - 6 x + 3 x^0 = 3 x^2 - 6 x + 3 * 1 = 3 x^2 - 6 x + 3

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) igualando a zero:

3 x^2 - 6 x + 3 = 0 harr 3 (x - 1)^2 = 0

Vamos analisar o sinal da expressão, temos que não importa o valor de x , a expressão é sempre positiva, assim:

f é estritamente crescente

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = (3 x^2 - 6 x + 3)^' = 2 * 3 x^(2 - 1) - 6 x^(1 - 1) + 0 = 6 x - 6 x^0 = 6 x - 6 * 1 = 6 x - 6

Igualando a 0 :

6 x - 6 = 0 -> x = 1

Vamos analisar agora o sinal de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) > 0 em x > 1 , tendo a concavidade voltada para cima, e f^(' ') (x) < 0 em x < 1 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em 1 , pois nesse ponto há uma mudança de concavidade.

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) x^3 - 3 x^2 + 3 x = + oo

underset(x -> - oo)(lim) x^3 - 3 x^2 + 3 x = - oo

Passo 5

E por último vamos achar as raízes de f :

x^3 - 3 x^2 + 3 x = 0 -> x (x^2 - 3 x + 3) = 0

Temos como raiz real apenas:

x = 0

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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