Enunciado

Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com seta a direção na qual o parâmetro cresce.

r → t = s e n t   i → + s e n t j → + 2   c o s t k →

Passo 1

A partir das equações paramétricas, e analisando suas interseções com os planos coordenados podemos descobrir a forma da curva.

Passo 2

As equações paramétricas são:

x = y = s e n t

z = 2   c o s t

Elevando todas as componentes ao quadrado e somando, temos:

s e n 2 t + s e n 2 t + 2 cos 2 ⁡ t = 2 s e n 2 t + 2 cos 2 ⁡ t = 2

Dessa forma temos

x 2 + y 2 + z 2 = 2

Ou seja, a curva se encontra em uma esfera centrada na origem e de raio 2.

Passo 3

Além disso, a segunda e terceira coordenada são iguais, indicando que a curva é a interseção da esfera encontrada no passo 1 com o plano x=y.

Tal intercessão é o círculo de raio 2 com centro na origem e no plano x=y.

Esboçando temos a seguinte figura, onde o parâmetro t cresce no sentido anti-horário.

Resposta

A curva procurada é o círculo de raio 2 com centro na origem e no plano x=y.

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Seja C a curva de intersecção do cilindro parabólico x 2 = 2 y e da superfície 3 z = x y . Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto (6, 18, 36).
Encontre, com precisão de quatro casas decimais, o comprimento da curva de intersecção do cilindro 4 x 2 + y 2 = 4 e do plano x + y + z = 2 .
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = ( 2s e nt ,5 t ,2 cos ⁡ t )
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t . r t = e 2 t cos ⁡ 2 ti + 2 j + e 2 t s e n2 t k
Reparametrize a curva r t = 2 t 2 + 1 - 1 i + 2 t t 2 + 1 j Em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto (1, 0) na direção crescente de t . Expresse a reparametrização em sua forma mais