Enunciado

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = ( 2   s e n   t ,   5 t ,   2 cos ⁡ t )

Passo 1

O primeiro passo é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

r ' t = ( 2 cos ⁡ t ,   5 ,   - 2   s e n   t )

Agora podemos obter o módulo da derivada:

r ' t = 4 cos 2 ⁡ t + 25 + 4 s e n 2 t

r ' t = 4 ( cos 2 ⁡ t + s e n 2 t ) + 25

r ' t = 29

Passo 2

O vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

T t = r ' t r ' t

T t = 1 29 ( 2 cos ⁡ t ,   5 ,   - 2   s e n   t )

T t = ( 2 29 cos ⁡ t , 5 29 ,   - 2 29   s e n   t )

Já a derivada do vetor T ( t ) é:

T ' t = 1 29 ( - 2 sen t ⁡ ,   0 ,   - 2 cos ⁡ t )

O módulo de T ' t é dado por:

T ' t = 1 29 2 4 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t

T ' t = 1 29 4

T ' t = 2 29

Passo 3

Agora já é possível calcular o vetor normal unitário N ( t ) usando os resultados anteriores.

N t = T ' t T ' t

N t = 1 2 29   1 29 ( - 2 sen t ⁡ ,   0 ,   - 2 cos ⁡ t )

N t = 1 2 ( - 2 sen t ⁡ ,   0 ,   - 2 cos ⁡ t )

N t = ( - sen t ⁡ ,   0 ,   - cos ⁡ t )

Passo 4

O raio de curvatura é dado por

k t = T ' t r ' t

k t = 2 29 29

k t = 2 29

Resposta

T t = ( 2 29 cos ⁡ t , 5 29 ,   - 2 29   s e n   t )

N t = ( - sen t ⁡ ,   0 ,   - cos ⁡ t )

k t = 2 29

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