Enunciado

Seja C a curva de intersecção do cilindro parabólico x 2 = 2 y e da superfície 3 z = x y . Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto (6, 18, 36).

Passo 1

A primeira coisa a se fazer é encontrar uma parametrização da curva C para que seja possível aplicar a fórmula de comprimento de arco posteriormente.

Observamos, pelo enunciado, que a projeção da curva C sobre o plano x y é a curva x 2 = 2 y ou y = 1 / 2 . x 2 com z = 0 . Assim podemos adotar como parâmetro x = t . Assim as componentes x   e y serão:

y = 1 2 x 2 = 1 2 t 2

z = x y 3 = 1 3 t 1 2 t 2 = 1 6 t 3

A equação vetorial da curva C é dada então por

r t = t ,   1 2 t 2 ,   1 6 t 3

A origem corresponde ao ponto (0, 0, 0), ou seja, t=0.

Já o ponto final (6, 18, 36) corresponde à t = 6 .

Portanto, a fórmula do comprimento de arco é dada por

L = ∫ 0 6 | r ' t | d t

Passo 2

O próximo passo é obter r ' ( t ) . Temos

r ' t = 1 ,   t , t 2 2

Obtida a derivada da curva, devemos calcular seu módulo:

r ' t = 1 2 + t 2 + t 2 2 2

r ' t = 1 + t 2 + t 4 4 = 1 + 1 2 t 2 2

r ' t = 1 + 1 2 t 2

Passo 3

Substituindo o valor do módulo calculada na fórmula de comprimento de arco, obtemos:

∫ 0 6 r ' t d t = ∫ 0 6 1 + 1 2 t 2 d t

= t + t 3 6 0 6

= 6 + 36 = 42

Resposta

L = 42 .

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(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.(b) Determine r’(t).(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. r t = e ti + e 3 t ⁡j , t = 0
(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.(b) Determine r’(t).(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. r t = e ti + e - t ⁡j , t = 0
(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.(b) Determine r’(t).(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. r t = s e nti + 2 cos ⁡ tj , t = π /
(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.(b) Determine r’(t).(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. r t = ( 1 + cos ⁡ t )i + 2 + sent ⁡j