Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.3 - Ex. 11
Seja C a curva de intersecção do cilindro parabólico e da superfície . Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto (6, 18, 36).
Passo 1
A primeira coisa a se fazer é encontrar uma parametrização da curva C para que seja possível aplicar a fórmula de comprimento de arco posteriormente.
Observamos, pelo enunciado, que a projeção da curva C sobre o plano é a curva ou com . Assim podemos adotar como parâmetro . Assim as componentes e serão:
A equação vetorial da curva C é dada então por
A origem corresponde ao ponto (0, 0, 0), ou seja, t=0.
Já o ponto final (6, 18, 36) corresponde à .
Portanto, a fórmula do comprimento de arco é dada por
Passo 2
O próximo passo é obter . Temos
Obtida a derivada da curva, devemos calcular seu módulo:
Passo 3
Substituindo o valor do módulo calculada na fórmula de comprimento de arco, obtemos:
Resposta
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