Enunciado

(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.

(b) Determine r’(t).

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

r t = e t   i + e 3 t ⁡   j ,                                     t = 0  

Passo 1

As equações paramétricas correspondentes à função vetorial dada são

x = e t                   y = e 3 t

Ou

x = e t                   y = e t 3

Com base nas equações paramétricas percebemos que

y = x 3

Essa equação representa uma curva cúbica normalmente conhececida nos estudos de funções.

Como a função e t é positiva para todo t   ∈ R , observa-se que x > 0 e y > 0 . Portanto o gráfico da curva é dado pelos valores positivos da função y = x 3 .

Passo 2

Determinamos r ' ( t ) derivando as componentes de r ( t ) .

r t = e t   i + e 3 t ⁡   j               →                 r ' t = e t   i + 3 e 3 t ⁡   j

Passo 3

O vetor posição r ( t ) em t = 0 é

r 0 = e 0   i + e 3 ⋅ 0 ⁡   j

r 0 =   i + j

Por outro lado, o vetor tangente em t = 0 , tem origem no ponto (1,1) e é dado por

r ' 0 =   e 0   i + 3 e 3 ⋅ 0 ⁡   j

r ' 0 =     i + 3 j

Com base nos resultados obtidos podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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