Enunciado

Trace a curva espacial e sua função curvatura κ t . Comente como a curvatura reflete a forma da curva.

r t =   t e t , e - t , 2   t ,   - 5 ≤ t ≤ 5  

Passo 1

Vamos lembrar que a função curvatura é dada por

κ t = | r → ' t × r → ' ' t | r → ' t 3

E que o produto vetorial é dito

v → × u → = d e t i ^ j ^ k ^ v x v y v z u x u y u z

Passo 2

Dada a função r t , podemos dizer que

r → ' t =   ( t + 1 ) e t , - e - t , 2

e

r → ' ' t = t + 2 e t , e - t , 0

Logo

r → ' t × r → ' ' t = i ^ j ^ k ^ t + 1 e t - e - t 2 t + 2 e t e - t 0 =

= i ^ - 2   e - t + j ^ 2   t + 2 e t + h ^ 3

E tirando a normal, temos

r → ' t × r → ' ' t = 2 e - 2 t + 2 t + 2 2 e 2 t + 2 t + 3 2

E também temos que

r → ' t = t + 1 2 e 2 t + e - 2 t + 2

Desta forma podemos escrever que

κ t = 2 e - 2 t + 2 t + 2 2 e 2 t + 2 t + 3 2 t + 1 2 e 2 t + e - 2 t + 2 3 2

Passo 3

Primeiramente traçamos o gráfico de r → t × t

Em seguida temos κ t × t

No gráfico de κ ( t ) , vemos que a curvatura é maximizada para t   =   0 de modo que a curva se dobra mais acentuadamente no ponto ( 0,1 , 0 ) .

A curva se curva mais gradualmente à medida que nos afastamos desse ponto, tornando-se quase linear. Isso se reflete na curvatura gráfico, onde κ t se torna quase 0 como | t | aumenta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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