Enunciado

  1. Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.
  2. Determine r ' ( t ) .
  3. Desenhe o vetor de posição r ( t ) e o vetor tangente r ' t para o valor dado de t .

r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t = π 4

Passo 1

  1. As equações paramétricas correspondetes à função vetorial dada são
  2. x = cos ⁡ t y = sen ⁡ t

    Sabemos que sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 . Logo temos:

    x 2 + y 2 = 1

    Essa equação é uma outra forma de apresentação da função vetorial r ( t ) . Essa forma é bem mais conhecida por nós e representada por uma circunferência de raio 1 . Portanto, o gráfico da curva referente a r ( t ) é:

    Passo 2

  3. Determinamos r ' ( t ) derivando as componentes de r ( t ) :

r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t                                   →                                           r ' t = r t = - s en ⁡ t , cos ⁡ t

Passo 2

O vetor posição r ( t ) em t = π 4 é

r π 4 = cos ⁡ π 4 i ^ + sen ⁡ π 4 j ^

r π 4 = 1 2 i ^ + 1 2 j ^

Por outro lado, o vetor tangente em t = π 4 , tem origem no ponto 1 2 + 1 2 e é dado por

r ' π 4 = - sen ⁡ π 4 i ^ + cos ⁡ π 4 j ^

r ' π 4 = 1 2 i ^ + 1 2 j ^

Com base nos resultados obtidos podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = cos ⁡ x
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura. r t = 3 t i + 4 s e nt j + 4 cos ⁡ t k
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura. r t = t 2 i + t k
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = 2 x - x 2
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura. r t = t i + t j + ( 1 + t 2 ) k