Enunciado

Esboce o gráfico de uma função duas vezes derivável y = f ( x ) que passe pelos pontos - 2,2 ,   - 1,1 ,   0,0 ,   1,1 ,   2,2   e cujas duas primeiras derivadas tenham a seguinte distribuição de sinais:

Passo 1

Sabemos que:

  • y ' ( x ) > 0 se a função é crescente em x.
  • y ' x < 0   se a função é decrescente em x.
  • y ' x = 0 se x é um ponto crítico no gráfico (máximo ou mínimo absolutos)
  • y ' ' x > 0 se a concavidade do gráfico é para cima em x.
  • y ' ' x < 0 se a concavidade do gráfico é para baixo em x.
  • y ' ' x = 0 se x é um ponto de inflexão (onde muda a concavidade)

A partir dessas informações, podemos esboçar a curva:

Passo 2

Primeiramente, marque os pontos dados: - 2,2 ,   - 1,1 ,   0,0 ,   1,1 ,   2,2 .

Perceba que a função é simétrica em relação ao eixo y.

Veja que a função é crescente no intervalo ( - ∞ ,   - 2 ) e ( 0,2 ) e decrescente em - 2,0 e ( 2 ,   ∞ )

Agora, vemos também que concavidade é para baixo em ( - ∞ ,   - 1 ) , para cima em ( - 1,1 ) e para baixo novamente em ( 1 ,   ∞ ) . Ou seja, temos pontos de inflexão nas coordenadas ( - 1,1 ) e ( 1,1 ) .

Passo 3

Juntando essas informações, podemos esboçar o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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